Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = - 8 x^{2} + 10 x + 3$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{10}{2 (- 8)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{10}{2 (- 8)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{10}{2 (- 8)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 8}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 8$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 (- 8)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 8}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{5}{- 8}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{5}{8}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{5}{8}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{8})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $1$ .

$x = \frac{5}{8}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{5}{8})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{8}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 {(\frac{5}{8})}^{2} + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{8}$ an.

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \frac{5^{2}}{8^{2}} + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \frac{25}{8^{2}} + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 (\frac{25}{64}) + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$f (\frac{5}{8}) = 8 (- 1) (\frac{25}{64}) + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cdot (- 1 \frac{25}{8 \cdot 8}) + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{8}) = 8 \cdot (- 1 \frac{25}{8 \cdot 8}) + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{8}) = - 1 (\frac{25}{8}) + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{25}{8})$ als $- (\frac{25}{8})$ um.

$f (\frac{5}{8}) = - (\frac{25}{8}) + 10 (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + 2 (5) (\frac{5}{8}) + 3$

Schritt 3.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + 2 \cdot (5 (\frac{5}{2 \cdot 4})) + 3$

Schritt 3.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + 2 \cdot (5 (\frac{5}{2 \cdot 4})) + 3$

Schritt 3.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + 5 (\frac{5}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.7

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{5 \cdot 5}{4} + 3$

Schritt 3.2.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25}{4} + 3$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 3$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{5}{8}) = - \frac{25}{8} + \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{8}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2 + 3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{8}) = \frac{- 25 + 50 + 3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (\frac{5}{8}) = \frac{- 25 + 50 + 24}{8}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $- 25$ und $50$ .

$f (\frac{5}{8}) = \frac{25 + 24}{8}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $25$ und $24$ .

$f (\frac{5}{8}) = \frac{49}{8}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{49}{8}$ .

$\frac{49}{8}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{5}{8}, \frac{49}{8})$

Schritt 5