Finite Mathematik Beispiele

$3 x^{2} + 9 x + 3$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{9}{2 (3)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{9}{2 (3)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$x = - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2^{2}}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{4}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere $3 (\frac{9}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{4} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.7

Multipliziere $9 (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.7.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 3}{2} + 3$

Schritt 3.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27}{2} + 3$

Schritt 3.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27}{2} + 3$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{27}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - (\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 3$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{27}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 + 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 12}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $54$ von $27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 12}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 27$ und $12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 15}{4}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{15}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{15}{4}$ .

$- \frac{15}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{15}{4})$

Schritt 5