Finite Mathematik Beispiele

$- 10 x^{2} + 5 x + 8$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{5}{2 (- 10)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{5}{2 (- 10)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{5}{2 (- 10)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $- 10$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x = - \frac{5 (1)}{2 (- 10)}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $2 (- 10)$ heraus.

$x = - \frac{5 (1)}{5 (2 \cdot (- 2))}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{5 \cdot 1}{5 (2 \cdot (- 2))}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{2 \cdot (- 2)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = - \frac{1}{- 4}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4

Multipliziere $- - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{1}{4})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 10 {(\frac{1}{4})}^{2} + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (\frac{1}{4}) = - 10 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{4}) = - 10 \frac{1}{4^{2}} + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 10 (\frac{1}{16}) + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$f (\frac{1}{4}) = 2 (- 5) (\frac{1}{16}) + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{1}{4}) = 2 \cdot (- 5 \frac{1}{2 \cdot 8}) + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{4}) = 2 \cdot (- 5 \frac{1}{2 \cdot 8}) + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{4}) = - 5 (\frac{1}{8}) + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{- 5}{8} + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + 5 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 3.2.1.7

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5}{4} + 8$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{2} + 8$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 8$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 2}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{- 5 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{- 5 + 10 + 8 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{- 5 + 10 + 64}{8}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $- 5$ und $10$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{5 + 64}{8}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $5$ und $64$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{69}{8}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{69}{8}$ .

$\frac{69}{8}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{1}{4}, \frac{69}{8})$

Schritt 5