Finite Mathematik Beispiele

$y = 2 x + 3$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x + 3}{x - 1}$ an mit $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$2$	$3$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$2$	$3$

	$2$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$1$	$2$	$3$
		$2$
	$2$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$3$
		$2$
	$2$	$5$

Schritt 2.5

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 + \frac{5}{x - 1}$

Schritt 3

Da $1 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $1$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $1$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x + 3}{x - \frac{1}{2}}$ an mit $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$

	$2$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$
		$1$
	$2$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$
		$1$
	$2$	$4$

Schritt 4.5

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 + \frac{4}{x - \frac{1}{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 + \frac{8}{2 x - 1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{1}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{1}{2}$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x + 3}{x - 3}$ an mit $x = 3$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$2$	$3$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$2$	$3$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$3$	$2$	$3$
		$6$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$2$	$3$
		$6$
	$2$	$9$

Schritt 6.5

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 + \frac{9}{x - 3}$

Schritt 7

Da $3 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $3$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $3$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x + 3}{x + 3}$ an mit $x = - 3$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$2$	$3$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$2$	$3$

	$2$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 3$	$2$	$3$
		$- 6$
	$2$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$2$	$3$
		$- 6$
	$2$	$- 3$

Schritt 8.5

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 + \frac{- 3}{x + 3}$

Schritt 8.6

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 - \frac{3}{x + 3}$

Schritt 9

Da $- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 3$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x + 3}{x - \frac{3}{2}}$ an mit $x = \frac{3}{2}$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$

	$2$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$3$
	$2$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$3$
	$2$	$6$

Schritt 10.5

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 + \frac{6}{x - \frac{3}{2}}$

Schritt 10.6

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 + \frac{12}{2 x - 3}$

Schritt 11

Da $\frac{3}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{3}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{3}{2}$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x + 3}{x + \frac{3}{2}}$ an mit $x = - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$

	$2$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- \frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$- 3$
	$2$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$- 3$
	$2$	$0$

Schritt 12.5

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2$

Schritt 13

Da $- \frac{3}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{3}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{3}{2}$

Schritt 14

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $1, \frac{1}{2}, 3, \frac{3}{2}$

Untere Schranken: $- 3, - \frac{3}{2}$

Schritt 15