Finite Mathematik Beispiele

f (x) = x^{2} - 1

$f (x) = x^{2} - 1$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ an mit

x = 1

$x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden

(1)

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(1)

$(1)$ und schreibe das Ergebnis von

(1)

$(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(0)

$(0)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(1)

$(1)$ und schreibe das Ergebnis von

(1)

$(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 1)

$(- 1)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$

Schritt 2.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(1) x + 1

$(1) x + 1$

Schritt 2.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

x + 1

$x + 1$

x + 1

$x + 1$

Schritt 3

1 > 0

$1 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist

1

$1$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke:

1

$1$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf

\frac{x^{2} - 1}{x + 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ an mit

x = - 1

$x = - 1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden

(1)

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(- 1)

$(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 1)

$(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(0)

$(0)$ .

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 1)

$(- 1)$ mit dem Divisor

(- 1)

$(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von

(1)

$(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 1)

$(- 1)$ .

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$0$ $0$

Schritt 4.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(1) x - 1

$(1) x - 1$

Schritt 4.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

x - 1

$x - 1$

x - 1

$x - 1$

Schritt 5

- 1 < 0

$- 1 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

- 1

$- 1$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

- 1

$- 1$

Schritt 6

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranke:

1

$1$

Untere Schranke:

- 1

$- 1$

Schritt 7