Finite Mathematik Beispiele

f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6

$f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6$

Schritt 1

Addiere

- x^{2}

$- x^{2}$ und

6 x^{2}

$6 x^{2}$ .

f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6

$f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

q = \pm 1, \pm 5

$q = \pm 1, \pm 5$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

Schritt 3

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}$ an mit

x = - 1

$x = - 1$ .

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Schritt 3.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 3.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(- 1)

$(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 5)

$(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 5$ $- 5$
	$5$ $5$

Schritt 3.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 5$ $- 5$
	$5$ $5$	$- 14$ $- 14$

Schritt 3.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 14)

$(- 14)$ mit dem Divisor

(- 1)

$(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von

(14)

$(14)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 5$ $- 5$	$14$ $14$
	$5$ $5$	$- 14$ $- 14$

Schritt 3.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 5$ $- 5$	$14$ $14$
	$5$ $5$	$- 14$ $- 14$	$20$ $20$

Schritt 3.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(5) x - 14 + \frac{20}{x + 1}

$(5) x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}

$5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}

$5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Schritt 4

- 1 < 0

$- 1 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

- 1

$- 1$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

- 1

$- 1$

Schritt 5

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{1}{5}}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{1}{5}}$ an mit

x = - \frac{1}{5}

$x = - \frac{1}{5}$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{1}{5}$ $- \frac{1}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 5.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{1}{5}$ $- \frac{1}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(- \frac{1}{5})

$(- \frac{1}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

(- 1)

$(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$- \frac{1}{5}$ $- \frac{1}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 1$ $- 1$
	$5$ $5$

Schritt 5.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{5}$ $- \frac{1}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 1$ $- 1$
	$5$ $5$	$- 10$ $- 10$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 10)

$(- 10)$ mit dem Divisor

(- \frac{1}{5})

$(- \frac{1}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

(2)

$(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$- \frac{1}{5}$ $- \frac{1}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 1$ $- 1$	$2$ $2$
	$5$ $5$	$- 10$ $- 10$

Schritt 5.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{5}$ $- \frac{1}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 1$ $- 1$	$2$ $2$
	$5$ $5$	$- 10$ $- 10$	$8$ $8$

Schritt 5.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(5) x - 10 + \frac{8}{x + \frac{1}{5}}

$(5) x - 10 + \frac{8}{x + \frac{1}{5}}$

Schritt 5.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}

$5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}$

5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}

$5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}$

Schritt 6

- \frac{1}{5} < 0

$- \frac{1}{5} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$

Schritt 7

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$ an mit

x = 2

$x = 2$ .

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Schritt 7.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$ $2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 7.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$ $2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(2)

$(2)$ und schreibe das Ergebnis von

(10)

$(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$2$ $2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$10$ $10$
	$5$ $5$

Schritt 7.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$ $2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$10$ $10$
	$5$ $5$	$1$ $1$

Schritt 7.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(2)

$(2)$ und schreibe das Ergebnis von

(2)

$(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$2$ $2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$10$ $10$	$2$ $2$
	$5$ $5$	$1$ $1$

Schritt 7.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$ $2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$10$ $10$	$2$ $2$
	$5$ $5$	$1$ $1$	$8$ $8$

Schritt 7.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(5) x + 1 + \frac{8}{x - 2}

$(5) x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Schritt 7.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}

$5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}

$5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Schritt 8

2 > 0

$2 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist

2

$2$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke:

2

$2$

Schritt 9

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 2}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 2}$ an mit

x = - 2

$x = - 2$ .

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Schritt 9.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$ $- 2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 9.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$ $- 2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 9.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(- 2)

$(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 10)

$(- 10)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$- 2$ $- 2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 10$ $- 10$
	$5$ $5$

Schritt 9.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$ $- 2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 10$ $- 10$
	$5$ $5$	$- 19$ $- 19$

Schritt 9.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 19)

$(- 19)$ mit dem Divisor

(- 2)

$(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von

(38)

$(38)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$- 2$ $- 2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 10$ $- 10$	$38$ $38$
	$5$ $5$	$- 19$ $- 19$

Schritt 9.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$ $- 2$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 10$ $- 10$	$38$ $38$
	$5$ $5$	$- 19$ $- 19$	$44$ $44$

Schritt 9.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(5) x - 19 + \frac{44}{x + 2}

$(5) x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Schritt 9.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}

$5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}

$5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Schritt 10

- 2 < 0

$- 2 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

- 2

$- 2$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

- 2

$- 2$

Schritt 11

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{2}{5}}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{2}{5}}$ an mit

x = - \frac{2}{5}

$x = - \frac{2}{5}$ .

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Schritt 11.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{2}{5}$ $- \frac{2}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 11.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{2}{5}$ $- \frac{2}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 11.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(- \frac{2}{5})

$(- \frac{2}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

(- 2)

$(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$- \frac{2}{5}$ $- \frac{2}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 2$ $- 2$
	$5$ $5$

Schritt 11.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{2}{5}$ $- \frac{2}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 2$ $- 2$
	$5$ $5$	$- 11$ $- 11$

Schritt 11.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 11)

$(- 11)$ mit dem Divisor

(- \frac{2}{5})

$(- \frac{2}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

(\frac{22}{5})

$(\frac{22}{5})$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$- \frac{2}{5}$ $- \frac{2}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 2$ $- 2$	$\frac{22}{5}$ $\frac{22}{5}$
	$5$ $5$	$- 11$ $- 11$

Schritt 11.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{2}{5}$ $- \frac{2}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 2$ $- 2$	$\frac{22}{5}$ $\frac{22}{5}$
	$5$ $5$	$- 11$ $- 11$	$\frac{52}{5}$ $\frac{52}{5}$

Schritt 11.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(5) x - 11 + \frac{\frac{52}{5}}{x + \frac{2}{5}}

$(5) x - 11 + \frac{\frac{52}{5}}{x + \frac{2}{5}}$

Schritt 11.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}

$5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}$

5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}

$5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}$

Schritt 12

- \frac{2}{5} < 0

$- \frac{2}{5} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

- \frac{2}{5}

$- \frac{2}{5}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

- \frac{2}{5}

$- \frac{2}{5}$

Schritt 13

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 3}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 3}$ an mit

x = 3

$x = 3$ .

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Schritt 13.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$ $3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 13.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$ $3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 13.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(3)

$(3)$ und schreibe das Ergebnis von

(15)

$(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$3$ $3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$15$ $15$
	$5$ $5$

Schritt 13.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$ $3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$15$ $15$
	$5$ $5$	$6$ $6$

Schritt 13.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(6)

$(6)$ mit dem Divisor

(3)

$(3)$ und schreibe das Ergebnis von

(18)

$(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$3$ $3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$15$ $15$	$18$ $18$
	$5$ $5$	$6$ $6$

Schritt 13.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$ $3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$15$ $15$	$18$ $18$
	$5$ $5$	$6$ $6$	$24$ $24$

Schritt 13.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(5) x + 6 + \frac{24}{x - 3}

$(5) x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Schritt 13.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}

$5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}

$5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Schritt 14

3 > 0

$3 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist

3

$3$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke:

3

$3$

Schritt 15

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 3}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 3}$ an mit

x = - 3

$x = - 3$ .

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Schritt 15.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$ $- 3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 15.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$ $- 3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 15.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(- 3)

$(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 15)

$(- 15)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$- 3$ $- 3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 15$ $- 15$
	$5$ $5$

Schritt 15.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$ $- 3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 15$ $- 15$
	$5$ $5$	$- 24$ $- 24$

Schritt 15.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 24)

$(- 24)$ mit dem Divisor

(- 3)

$(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von

(72)

$(72)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$- 3$ $- 3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 15$ $- 15$	$72$ $72$
	$5$ $5$	$- 24$ $- 24$

Schritt 15.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$ $- 3$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 15$ $- 15$	$72$ $72$
	$5$ $5$	$- 24$ $- 24$	$78$ $78$

Schritt 15.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(5) x - 24 + \frac{78}{x + 3}

$(5) x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Schritt 15.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}

$5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}

$5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Schritt 16

- 3 < 0

$- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

- 3

$- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

- 3

$- 3$

Schritt 17

Wende die synthetische Division auf

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{3}{5}}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{3}{5}}$ an mit

x = - \frac{3}{5}

$x = - \frac{3}{5}$ .

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Schritt 17.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{3}{5}$ $- \frac{3}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

Schritt 17.2

Die erste Zahl im Dividenden

(5)

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{3}{5}$ $- \frac{3}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

Schritt 17.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(5)

$(5)$ mit dem Divisor

(- \frac{3}{5})

$(- \frac{3}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

(- 3)

$(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 9)

$(- 9)$ .

$- \frac{3}{5}$ $- \frac{3}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 3$ $- 3$
	$5$ $5$

Schritt 17.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{5}$ $- \frac{3}{5}$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 3$ $- 3$
	$5$ $5$	$- 12$ $- 12$

Schritt 17.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 12)

$(- 12)$ mit dem Divisor

(- \frac{3}{5})

$(- \frac{3}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

(\frac{36}{5})

$(\frac{36}{5})$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$- \frac{3}{5}$ $- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$

Schritt 17.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$	$\frac{66}{5}$

Schritt 17.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(5) x - 12 + \frac{\frac{66}{5}}{x + \frac{3}{5}}$

Schritt 17.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$5 x - 12 + \frac{66}{5 x + 3}$

Schritt 18

$- \frac{3}{5} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

$- \frac{3}{5}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

$- \frac{3}{5}$

Schritt 19

Wende die synthetische Division auf

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 6}$ an mit

$x = 6$ .

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Schritt 19.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$6$	$5$	$- 9$	$6$

Schritt 19.2

Die erste Zahl im Dividenden

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Schritt 19.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(5)$ mit dem Divisor

$(6)$ und schreibe das Ergebnis von

$(30)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(- 9)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$

Schritt 19.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$	$21$

Schritt 19.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(21)$ mit dem Divisor

$(6)$ und schreibe das Ergebnis von

$(126)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(6)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$

Schritt 19.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$	$132$

Schritt 19.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(5) x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Schritt 19.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$5 x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Schritt 20

$6 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist

$6$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke:

$6$

Schritt 21

Wende die synthetische Division auf

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 6}$ an mit

$x = - 6$ .

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Schritt 21.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

Schritt 21.2

Die erste Zahl im Dividenden

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Schritt 21.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(5)$ mit dem Divisor

$(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von

$(- 30)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(- 9)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$

Schritt 21.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$	$- 39$

Schritt 21.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(- 39)$ mit dem Divisor

$(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von

$(234)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(6)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$

Schritt 21.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$	$240$

Schritt 21.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(5) x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Schritt 21.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$5 x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Schritt 22

$- 6 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

$- 6$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

$- 6$

Schritt 23

Wende die synthetische Division auf

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{6}{5}}$ an mit

$x = - \frac{6}{5}$ .

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Schritt 23.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Schritt 23.2

Die erste Zahl im Dividenden

$(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Schritt 23.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(5)$ mit dem Divisor

$(- \frac{6}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

$(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(- 9)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$

Schritt 23.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$	$- 15$

Schritt 23.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(- 15)$ mit dem Divisor

$(- \frac{6}{5})$ und schreibe das Ergebnis von

$(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(6)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$

Schritt 23.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$	$24$

Schritt 23.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(5) x - 15 + \frac{24}{x + \frac{6}{5}}$

Schritt 23.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$5 x - 15 + \frac{120}{5 x + 6}$

Schritt 24

$- \frac{6}{5} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

$- \frac{6}{5}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

$- \frac{6}{5}$

Schritt 25

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken:

$2, 3, 6$

Untere Schranken:

$- 1, - \frac{1}{5}, - 2, - \frac{2}{5}, - 3, - \frac{3}{5}, - 6, - \frac{6}{5}$

Schritt 26