Finite Mathematik Beispiele

Bestimme die oberen und unteren Grenzen f(x)=-x^2+6x^2-9x+6
f(x)=-x2+6x2-9x+6f(x)=x2+6x29x+6
Schritt 1
Addiere -x2x2 und 6x26x2.
f(x)=5x2-9x+6f(x)=5x29x+6
Schritt 2
Ermittle jede Kombination von ±pq±pq.
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Schritt 2.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form pqpq, wobei pp ein Teiler der Konstanten und qq ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
p=±1,±2,±3,±6p=±1,±2,±3,±6
q=±1,±5q=±1,±5
Schritt 2.2
Ermittle jede Kombination von ±pq±pq. Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
±1,±15,±2,±25,±3,±35,±6,±65±1,±15,±2,±25,±3,±35,±6,±65
±1,±15,±2,±25,±3,±35,±6,±65±1,±15,±2,±25,±3,±35,±6,±65
Schritt 3
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+15x29x+6x+1 an mit x=-1x=1.
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Schritt 3.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-1155-9966
  
Schritt 3.2
Die erste Zahl im Dividenden (5)(5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-1155-9966
  
55
Schritt 3.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5)(5) mit dem Divisor (-1)(1) und schreibe das Ergebnis von (-5)(5) unter den nächsten Term im Dividenden (-9)(9).
-1155-9966
 -55 
55
Schritt 3.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-1155-9966
 -55 
55-1414
Schritt 3.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-14)(14) mit dem Divisor (-1)(1) und schreibe das Ergebnis von (14)(14) unter den nächsten Term im Dividenden (6)(6).
-1155-9966
 -5514
5-14
Schritt 3.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-15-96
 -514
5-1420
Schritt 3.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-14+20x+1
Schritt 3.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-14+20x+1
5x-14+20x+1
Schritt 4
Da -1<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -1 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -1
Schritt 5
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+15 an mit x=-15.
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Schritt 5.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-155-96
  
Schritt 5.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-155-96
  
5
Schritt 5.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (-15) und schreibe das Ergebnis von (-1) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
-155-96
 -1 
5
Schritt 5.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-155-96
 -1 
5-10
Schritt 5.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-10) mit dem Divisor (-15) und schreibe das Ergebnis von (2) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
-155-96
 -12
5-10
Schritt 5.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-155-96
 -12
5-108
Schritt 5.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-10+8x+15
Schritt 5.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-10+405x+1
5x-10+405x+1
Schritt 6
Da -15<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -15 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -15
Schritt 7
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x-2 an mit x=2.
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Schritt 7.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
25-96
  
Schritt 7.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
25-96
  
5
Schritt 7.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (2) und schreibe das Ergebnis von (10) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
25-96
 10 
5
Schritt 7.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
25-96
 10 
51
Schritt 7.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (1) mit dem Divisor (2) und schreibe das Ergebnis von (2) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
25-96
 102
51
Schritt 7.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
25-96
 102
518
Schritt 7.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x+1+8x-2
Schritt 7.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x+1+8x-2
5x+1+8x-2
Schritt 8
Da 2>0 und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist 2 eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Obere Schranke: 2
Schritt 9
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+2 an mit x=-2.
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Schritt 9.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-25-96
  
Schritt 9.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-25-96
  
5
Schritt 9.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (-2) und schreibe das Ergebnis von (-10) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
-25-96
 -10 
5
Schritt 9.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-25-96
 -10 
5-19
Schritt 9.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-19) mit dem Divisor (-2) und schreibe das Ergebnis von (38) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
-25-96
 -1038
5-19
Schritt 9.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-25-96
 -1038
5-1944
Schritt 9.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-19+44x+2
Schritt 9.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-19+44x+2
5x-19+44x+2
Schritt 10
Da -2<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -2 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -2
Schritt 11
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+25 an mit x=-25.
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Schritt 11.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-255-96
  
Schritt 11.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-255-96
  
5
Schritt 11.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (-25) und schreibe das Ergebnis von (-2) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
-255-96
 -2 
5
Schritt 11.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-255-96
 -2 
5-11
Schritt 11.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-11) mit dem Divisor (-25) und schreibe das Ergebnis von (225) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
-255-96
 -2225
5-11
Schritt 11.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-255-96
 -2225
5-11525
Schritt 11.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-11+525x+25
Schritt 11.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-11+525x+2
5x-11+525x+2
Schritt 12
Da -25<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -25 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -25
Schritt 13
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x-3 an mit x=3.
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Schritt 13.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
35-96
  
Schritt 13.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
35-96
  
5
Schritt 13.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (3) und schreibe das Ergebnis von (15) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
35-96
 15 
5
Schritt 13.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
35-96
 15 
56
Schritt 13.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (6) mit dem Divisor (3) und schreibe das Ergebnis von (18) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
35-96
 1518
56
Schritt 13.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
35-96
 1518
5624
Schritt 13.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x+6+24x-3
Schritt 13.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x+6+24x-3
5x+6+24x-3
Schritt 14
Da 3>0 und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist 3 eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Obere Schranke: 3
Schritt 15
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+3 an mit x=-3.
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Schritt 15.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-35-96
  
Schritt 15.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-35-96
  
5
Schritt 15.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (-3) und schreibe das Ergebnis von (-15) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
-35-96
 -15 
5
Schritt 15.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-35-96
 -15 
5-24
Schritt 15.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-24) mit dem Divisor (-3) und schreibe das Ergebnis von (72) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
-35-96
 -1572
5-24
Schritt 15.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-35-96
 -1572
5-2478
Schritt 15.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-24+78x+3
Schritt 15.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-24+78x+3
5x-24+78x+3
Schritt 16
Da -3<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -3 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -3
Schritt 17
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+35 an mit x=-35.
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Schritt 17.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-355-96
  
Schritt 17.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-355-96
  
5
Schritt 17.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (-35) und schreibe das Ergebnis von (-3) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
-355-96
 -3 
5
Schritt 17.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-355-96
 -3 
5-12
Schritt 17.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-12) mit dem Divisor (-35) und schreibe das Ergebnis von (365) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
-355-96
 -3365
5-12
Schritt 17.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-355-96
 -3365
5-12665
Schritt 17.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-12+665x+35
Schritt 17.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-12+665x+3
5x-12+665x+3
Schritt 18
Da -35<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -35 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -35
Schritt 19
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x-6 an mit x=6.
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Schritt 19.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
65-96
  
Schritt 19.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
65-96
  
5
Schritt 19.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (6) und schreibe das Ergebnis von (30) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
65-96
 30 
5
Schritt 19.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
65-96
 30 
521
Schritt 19.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (21) mit dem Divisor (6) und schreibe das Ergebnis von (126) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
65-96
 30126
521
Schritt 19.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
65-96
 30126
521132
Schritt 19.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x+21+132x-6
Schritt 19.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x+21+132x-6
5x+21+132x-6
Schritt 20
Da 6>0 und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist 6 eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Obere Schranke: 6
Schritt 21
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+6 an mit x=-6.
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Schritt 21.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-65-96
  
Schritt 21.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-65-96
  
5
Schritt 21.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (-6) und schreibe das Ergebnis von (-30) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
-65-96
 -30 
5
Schritt 21.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-65-96
 -30 
5-39
Schritt 21.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-39) mit dem Divisor (-6) und schreibe das Ergebnis von (234) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
-65-96
 -30234
5-39
Schritt 21.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-65-96
 -30234
5-39240
Schritt 21.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-39+240x+6
Schritt 21.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-39+240x+6
5x-39+240x+6
Schritt 22
Da -6<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -6 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -6
Schritt 23
Wende die synthetische Division auf 5x2-9x+6x+65 an mit x=-65.
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Schritt 23.1
Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.
-655-96
  
Schritt 23.2
Die erste Zahl im Dividenden (5) wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).
-655-96
  
5
Schritt 23.3
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (5) mit dem Divisor (-65) und schreibe das Ergebnis von (-6) unter den nächsten Term im Dividenden (-9).
-655-96
 -6 
5
Schritt 23.4
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-655-96
 -6 
5-15
Schritt 23.5
Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis (-15) mit dem Divisor (-65) und schreibe das Ergebnis von (18) unter den nächsten Term im Dividenden (6).
-655-96
 -618
5-15
Schritt 23.6
Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.
-655-96
 -618
5-1524
Schritt 23.7
Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.
(5)x-15+24x+65
Schritt 23.8
Vereinfache das Quotientenpolynom.
5x-15+1205x+6
5x-15+1205x+6
Schritt 24
Da -65<0 und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist -65 eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.
Untere Schranke: -65
Schritt 25
Bestimme die oberen und unteren Grenzen.
Obere Schranken: 2,3,6
Untere Schranken: -1,-15,-2,-25,-3,-35,-6,-65
Schritt 26
 [x2  12  π  xdx ]