Finite Mathematik Beispiele

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$ , $5 x^{2} + 7 y^{2} = 0$

Schritt 1

Löse in $5 x^{2} + 7 y^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} = - 7 y^{2}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = - 7 y^{2}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = - 7 y^{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x^{2} = \frac{- 7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x^{2} = \frac{- 7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x^{2} = - \frac{7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x^{2} = - \frac{7 y^{2}}{5}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 1.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Schritt 2

Löse das System $x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}, 7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $x$ in $7 x^{2} - 3 y^{2} = 0$ durch $\sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$ .

$7 {(\sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}})}^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache $7 {(\sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}})}^{2} - 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}}^{2}$ als $- \frac{7 y^{2}}{5}$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$ als ${(- \frac{7 y^{2}}{5})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 {({(- \frac{7 y^{2}}{5})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 {(- \frac{7 y^{2}}{5})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$7 {(- \frac{7 y^{2}}{5})}^{\frac{2}{2}} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 {(- \frac{7 y^{2}}{5})}^{\frac{2}{2}} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$7 (- \frac{7 y^{2}}{5}) - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 (- \frac{7 y^{2}}{5}) - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.5

Vereinfache.

$7 (- \frac{7 y^{2}}{5}) - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$7 (- \frac{7 y^{2}}{5}) - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Multipliziere $7 (- \frac{7 y^{2}}{5})$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 \frac{7 y^{2}}{5} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7 y^{2}}{5}$ .

$\frac{- 7 (7 y^{2})}{5} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$\frac{- 49 y^{2}}{5} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$\frac{- 49 y^{2}}{5} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{49 y^{2}}{5} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$- \frac{49 y^{2}}{5} - 3 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Um $- 3 y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{49 y^{2}}{5} - 3 y^{2} \cdot \frac{5}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Kombiniere $- 3 y^{2}$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{49 y^{2}}{5} + \frac{- 3 y^{2} \cdot 5}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 49 y^{2} - 3 y^{2} \cdot 5}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$\frac{- 49 y^{2} - 3 y^{2} \cdot 5}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 49 y^{2} - 3 y^{2} \cdot 5$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 49 y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot - 49 - 3 y^{2} \cdot 5}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 y^{2} \cdot 5$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot - 49 + y^{2} (- 3 \cdot 5)}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.4.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot - 49 + y^{2} (- 3 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{y^{2} (- 49 - 3 \cdot 5)}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$\frac{y^{2} (- 49 - 3 \cdot 5)}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{y^{2} (- 49 - 15)}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.4.3

Subtrahiere $15$ von $- 49$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 64}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$\frac{y^{2} \cdot - 64}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.1.5.1

Bringe $- 64$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{- 64 \cdot y^{2}}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.1.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64 y^{2}}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$- \frac{64 y^{2}}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$- \frac{64 y^{2}}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$- \frac{64 y^{2}}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$- \frac{64 y^{2}}{5} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2

Löse in $- \frac{64 y^{2}}{5} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$64 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $64 y^{2} = 0$ durch $64$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $64 y^{2} = 0$ durch $64$ .

$\frac{64 y^{2}}{64} = \frac{0}{64}$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 y^{2}}{64} = \frac{0}{64}$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{64}$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$y^{2} = \frac{0}{64}$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$y^{2} = \frac{0}{64}$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $64$ .

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.2.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$y = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$y = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

$y = 0$

$x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{5}}$ durch $0$ .

$x = \sqrt{- \frac{7 {(0)}^{2}}{5}}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{- \frac{7 {(0)}^{2}}{5}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \sqrt{- \frac{7 \cdot 0}{5}}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$x = \sqrt{- \frac{0}{5}}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.3

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x = \sqrt{- 0}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x = \sqrt{0}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \sqrt{0^{2}}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Schritt 3

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 0)$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 0$

Schritt 5