Finite Mathematik Beispiele

${(1 + 2 i)}^{3}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(1 + 2 i)}^{3}$ gilt $n = 3$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $4$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $1$ und $b$ $2 i$ in den Ausdruck ein.

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $1$ mit ${(1)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.8

Berechne den Exponenten.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.10

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.12

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.13

Multipliziere $3 (4 \cdot - 1)$ .

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Schritt 4.1.13.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.14

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.14.1

Mutltipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ .

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Schritt 4.1.14.1.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.14.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.14.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.15

Vereinfache $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Schritt 4.1.16

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Schritt 4.1.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Schritt 4.1.18

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Schritt 4.1.19

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Schritt 4.1.20

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Schritt 4.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $8 i$ von $6 i$ .

$- 11 - 2 i$