Finite Mathematik Beispiele

$x y^{2} = 10^{11}$ , $\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = 10^{11}$ durch $y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = 10^{11}$ durch $y^{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{y^{2}} = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{2}}{y^{2}} = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $10$ mit $11$ .

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{100000000000}{y^{2}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$ durch $\frac{100000000000}{y^{2}}$ .

$\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache $\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y} = 10^{19}$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{100000000000}{y^{2}}$ an.

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{{(y^{2})}^{3}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{2 \cdot 3}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{100000000000^{3}}{y^{6}} \cdot \frac{1}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kombinieren.

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6} y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.4

Multipliziere $y^{6}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $y^{6}$ mit $y$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6} y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6 + 1}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6 + 1}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.5

Mutltipliziere $100000000000^{3}$ mit $1$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $10$ mit $19$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3

Löse in $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{7}, 1$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ mit $y^{7}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ mit $y^{7}$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} \cdot y^{7} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{7}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} \cdot y^{7} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ um.

$10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ durch $10000000000000000000$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ durch $10000000000000000000$ .

$\frac{10000000000000000000 y^{7}}{10000000000000000000} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10000000000000000000$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10000000000000000000 y^{7}}{10000000000000000000} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y^{7}$ durch $1$ .

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache $\sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$ als $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{10000000000000000000}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{10000000000000000000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.4.2.1

Schreibe $10000000000000000000$ als $100^{7} \cdot 100000$ um.

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Faktorisiere $100000000000000$ aus $10000000000000000000$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100000000000000 (100000)}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Schreibe $100000000000000$ als $100^{7}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100^{7} \cdot 100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100^{7} \cdot 100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.2

Bewege $\sqrt[7]{100000}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 (\sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6})}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.3

Potenziere $\sqrt[7]{100000}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 (\sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6})}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {\sqrt[7]{100000}}^{1 + 6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.5

Addiere $1$ und $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {\sqrt[7]{100000}}^{7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.6

Schreibe ${\sqrt[7]{100000}}^{7}$ als $100000$ um.

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Schritt 3.3.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{100000}$ als $100000^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {(100000^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{7}{7}}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{7}{7}}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.5

Schreibe ${\sqrt[7]{100000}}^{6}$ als $\sqrt[7]{100000^{6}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} \sqrt[7]{100000^{6}}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.6

Mutltipliziere $100$ mit $100000$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} \sqrt[7]{100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.2

Schreibe $100000000000$ als $10^{11}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{{(10^{11})}^{3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(10^{11})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.4.7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{11 \cdot 3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.3.2

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.4

Schreibe $100000$ als $10^{5}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot {(10^{5})}^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.5

Multipliziere die Exponenten in ${(10^{5})}^{6}$ .

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Schritt 3.3.4.7.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{5 \cdot 6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33 + 30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.7

Addiere $33$ und $30$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{63}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{63}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.8.1

Schreibe $10^{63}$ als ${(10^{9})}^{7}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{{(10^{9})}^{7}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.8.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$y = \frac{10^{9}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.8.3

Potenziere $10$ mit $9$ .

$y = \frac{1000000000}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{1000000000}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4.9

Dividiere $1000000000$ durch $10000000$ .

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $100$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{100000000000}{y^{2}}$ durch $100$ .

$x = \frac{100000000000}{{(100)}^{2}}$

$y = 100$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{100000000000}{{(100)}^{2}}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $100$ mit $2$ .

$x = \frac{100000000000}{10000}$

$y = 100$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $100000000000$ durch $10000$ .

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(10000000, 100)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(10000000, 100)$

Gleichungsform:

$x = 10000000, y = 100$

Schritt 7