Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$ , $2 y - x = 2$

Schritt 1

Löse in $2 y - x = 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 2 + x$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 2 + x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 2 + x$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $1 + \frac{x}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} - 4 y^{2} = 16$ durch $1 + \frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 {(1 + \frac{x}{2})}^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x^{2} - 4 {(1 + \frac{x}{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(1 + \frac{x}{2})}^{2}$ als $(1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})$ um.

$x^{2} - 4 ((1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 (1 (1 + \frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Multipliziere $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $\frac{x}{2}$ und $\frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 4 (1 + x + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + x + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x - 4 \frac{x^{2}}{4} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 - 4 x - 4 \frac{x^{2}}{4} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$x^{2} - 4 - 4 x + 4 (- 1) (\frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 4 - 4 x + 4 \cdot (- 1 \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.1.7

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$x^{2} - 4 - 4 x - x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 4 - 4 x - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 4 - 4 x + 0 = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $- 4 - 4 x$ und $0$ .

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 3

Löse in $- 4 - 4 x = 16$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = 16 + 4$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 3.1.2

Addiere $16$ und $4$ .

$- 4 x = 20$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 x = 20$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 20$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 20$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $20$ durch $- 4$ .

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 1 + \frac{x}{2}$ durch $- 5$ .

$y = 1 + \frac{- 5}{2}$

$x = - 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $1 + \frac{- 5}{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 1 - \frac{5}{2}$

$x = - 5$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$x = - 5$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 - 5}{2}$

$x = - 5$

Schritt 4.2.1.4

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = - 5$

Schritt 4.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 5, - \frac{3}{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 5, - \frac{3}{2})$

Gleichungsform:

$x = - 5, y = - \frac{3}{2}$

Schritt 7