Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 36$ , $x + y = 4$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 - y$

$x^{2} + y^{2} = 36$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 36$ durch $4 - y$ .

${(4 - y)}^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(4 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(4 - y)}^{2}$ als $(4 - y) (4 - y)$ um.

$(4 - y) (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(4 - y) (4 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (4 - y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$16 - 4 y - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$16 - 4 y - 4 y - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$16 - 4 y - 4 y + 1 y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $4 y$ von $- 4 y$ .

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Schritt 3

Löse in $16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 - 8 y + 2 y^{2} - 36 = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $36$ von $16$ .

$- 8 y + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 y + 2 y^{2} - 20$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 y$ heraus.

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$2 (- 4 y) + 2 (y^{2}) - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4 y) + 2 y^{2}$ heraus.

$2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10$ heraus.

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y^{2} - 4 y - 10$ durch $1$ .

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.1.3

Addiere $16$ und $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.1.3

Addiere $16$ und $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 3.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.1.3

Addiere $16$ und $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.1.4

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2 + \sqrt{14}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 4 - y$ durch $2 + \sqrt{14}$ .

$x = 4 - (2 + \sqrt{14})$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 - (2 + \sqrt{14})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 4 - 1 \cdot 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2 - \sqrt{14}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 4 - y$ durch $2 - \sqrt{14}$ .

$x = 4 - (2 - \sqrt{14})$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $4 - (2 - \sqrt{14})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 4 - 1 \cdot 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Schritt 5.2.1.1.3

Multipliziere $- - \sqrt{14}$ .

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 4 - 2 + 1 \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14})$

$(2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14}), (2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

Gleichungsform:

$x = 2 - \sqrt{14}, y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}, y = 2 - \sqrt{14}$

Schritt 8