Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 104$ , $x - y = 8$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8 + y$

$x^{2} + y^{2} = 104$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $8 + y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 104$ durch $8 + y$ .

${(8 + y)}^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(8 + y)}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(8 + y)}^{2}$ als $(8 + y) (8 + y)$ um.

$(8 + y) (8 + y) + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(8 + y) (8 + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (8 + y) + y (8 + y) + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot 8 + 8 y + y (8 + y) + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot 8 + 8 y + y \cdot 8 + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$8 \cdot 8 + 8 y + y \cdot 8 + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$64 + 8 y + y \cdot 8 + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

$64 + 8 y + 8 \cdot y + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$64 + 8 y + 8 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 8 y + 8 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $8 y$ und $8 y$ .

$64 + 16 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Schritt 3

Löse in $64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $104$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 + 16 y + 2 y^{2} - 104 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $104$ von $64$ .

$16 y + 2 y^{2} - 40 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16 y + 2 y^{2} - 40$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16 y$ heraus.

$2 (8 y) + 2 y^{2} - 40 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$2 (8 y) + 2 (y^{2}) - 40 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 40$ heraus.

$2 (8 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 20 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 y) + 2 y^{2}$ heraus.

$2 (8 y + y^{2}) + 2 \cdot - 20 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 y + y^{2}) + 2 \cdot - 20$ heraus.

$2 (8 y + y^{2} - 20) = 0$

$x = 8 + y$

$2 (8 y + y^{2} - 20) = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.2

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$2 (8 u + u^{2} - 20) = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $8 u + u^{2} - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $8$ ist.

$- 2, 10$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((u - 2) (u + 10)) = 0$

$x = 8 + y$

$2 ((u - 2) (u + 10)) = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.1

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 ((y - 2) (y + 10)) = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (y - 2) (y + 10) = 0$

$x = 8 + y$

$2 (y - 2) (y + 10) = 0$

$x = 8 + y$

$2 (y - 2) (y + 10) = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 10 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.5

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

$x = 8 + y$

$y = 2$

$x = 8 + y$

Schritt 3.6

Setze $y + 10$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y + 10$ gleich $0$ .

$y + 10 = 0$

$x = 8 + y$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 10$

$x = 8 + y$

$y = - 10$

$x = 8 + y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (y - 2) (y + 10) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 10$

$x = 8 + y$

$y = 2, - 10$

$x = 8 + y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 8 + y$ durch $2$ .

$x = 8 + 2$

$y = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache $x = 8 + 2$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 8 + 2$

$y = 2$

$x = 8 + 2$

$y = 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $8$ und $2$ .

$x = 10$

$y = 2$

$x = 10$

$y = 2$

$x = 10$

$y = 2$

$x = 10$

$y = 2$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 8 + y$ durch $- 10$ .

$x = 8 - 10$

$y = - 10$

Schritt 5.2

Vereinfache $x = 8 - 10$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 8 - 10$

$y = - 10$

$x = 8 - 10$

$y = - 10$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $10$ von $8$ .

$x = - 2$

$y = - 10$

$x = - 2$

$y = - 10$

$x = - 2$

$y = - 10$

$x = - 2$

$y = - 10$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(10, 2)$

$(- 2, - 10)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(10, 2), (- 2, - 10)$

Gleichungsform:

$x = 10, y = 2$

$x = - 2, y = - 10$

Schritt 8