Finite Mathematik Beispiele

$20 x^{2} - 2 y = 0$ , $30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1

Löse in $20 x^{2} - 2 y = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $20 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y = - 20 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - 20 x^{2}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - 20 x^{2}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $- 2$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 20 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 2 (10 x^{2})}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{- 2 (10 x^{2})}{- 2 \cdot 1}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2 (10 x^{2})}{- 2 \cdot 1}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{10 x^{2}}{1}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.3.1.2.4

Dividiere $10 x^{2}$ durch $1$ .

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $10 x^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $30 y^{2} - 2 x = 0$ durch $10 x^{2}$ .

$30 {(10 x^{2})}^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 x^{2}$ an.

$30 (10^{2} {(x^{2})}^{2}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$30 (100 {(x^{2})}^{2}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 (100 x^{2 \cdot 2}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$30 (100 x^{4}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 (100 x^{4}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $100$ mit $30$ .

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3

Löse in $3000 x^{4} - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $3000 x^{4} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $3000 x^{4}$ heraus.

$2 x (1500 x^{3}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 x (1500 x^{3}) + 2 x (- 1) = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (1500 x^{3}) + 2 x (- 1)$ heraus.

$2 x (1500 x^{3} - 1) = 0$

$y = 10 x^{2}$

$2 x (1500 x^{3} - 1) = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1500 x^{3} - 1 = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4

Setze $1500 x^{3} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $1500 x^{3} - 1$ gleich $0$ .

$1500 x^{3} - 1 = 0$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2

Löse $1500 x^{3} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1500 x^{3} = 1$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $1500 x^{3} = 1$ durch $1500$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $1500 x^{3} = 1$ durch $1500$ .

$\frac{1500 x^{3}}{1500} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1500$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1500 x^{3}}{1500} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{1500}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{1}{1500}}$ .

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Schritt 3.4.2.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{1500}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1500}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1500}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{1500}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.4.3.1

Schreibe $1500$ als $5^{3} \cdot 12$ um.

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Schritt 3.4.2.4.3.1.1

Faktorisiere $125$ aus $1500$ heraus.

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{125 (12)}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.3.1.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{5^{3} \cdot 12}}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{5^{3} \cdot 12}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{5 \sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.2

Bewege $\sqrt[3]{12}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.3

Potenziere $\sqrt[3]{12}$ mit $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.5

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{12}}^{3}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.6

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ als $12$ um.

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Schritt 3.4.2.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{12}$ als $12^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 {(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.4.6.1

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ als $\sqrt[3]{12^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{12^{2}}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.6.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{144}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.6.3

Schreibe $144$ als $2^{3} \cdot 18$ um.

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Schritt 3.4.2.4.6.3.1

Faktorisiere $8$ aus $144$ heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{8 (18)}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.6.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.4.7.1

Mutltipliziere $5$ mit $12$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{60}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $60$ .

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Schritt 3.4.2.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{18}$ heraus.

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{18})}{60}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.4.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $60$ heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 30}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 30}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.4.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (1500 x^{3} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = 0, \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 10 x^{2}$ durch $0$ .

$y = 10 {(0)}^{2}$

$x = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $10 {(0)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 10 \cdot 0$

$x = 0$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{\sqrt[3]{18}}{30}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = 10 x^{2}$ durch $\frac{\sqrt[3]{18}}{30}$ .

$y = 10 {(\frac{\sqrt[3]{18}}{30})}^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $10 {(\frac{\sqrt[3]{18}}{30})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{18}}{30}$ an.

$y = 10 (\frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{18}}^{2}$ als $\sqrt[3]{18^{2}}$ um.

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{18^{2}}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.2.2

Potenziere $18$ mit $2$ .

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{324}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.2.3

Schreibe $324$ als $3^{3} \cdot 12$ um.

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Faktorisiere $27$ aus $324$ heraus.

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{27 (12)}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.3.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{900})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $900$ heraus.

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{10 (90)})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{10 \cdot 90})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{90}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{90}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $90$ .

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Schritt 5.2.1.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt[3]{12}$ heraus.

$y = \frac{3 (\sqrt[3]{12})}{90}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $90$ heraus.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{3 \cdot 30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{3 \cdot 30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 5.2.1.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(\frac{\sqrt[3]{18}}{30}, \frac{\sqrt[3]{12}}{30})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 0), (\frac{\sqrt[3]{18}}{30}, \frac{\sqrt[3]{12}}{30})$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 0$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}, y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

Schritt 8