Finite Mathematik Beispiele

$2 x^{2} + 4 x - y = 6$ , $2 x - y = - 6$

Schritt 1

Löse in $2 x^{2} + 4 x - y = 6$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - y = 6 - 2 x^{2}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$

$2 x - y = - 6$

$- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 6 - 2 x^{2} - 4 x$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

$y = \frac{6}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $6$ durch $- 1$ .

$y = - 6 + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 6 - 1 \cdot (- 2 x^{2}) + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ als $- (- 2 x^{2})$ um.

$y = - 6 - (- 2 x^{2}) + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = - 6 + 2 x^{2} + \frac{- 4 x}{- 1}$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 4 x}{- 1}$ .

$y = - 6 + 2 x^{2} - 1 \cdot (- 4 x)$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot (- 4 x)$ als $- (- 4 x)$ um.

$y = - 6 + 2 x^{2} - (- 4 x)$

$2 x - y = - 6$

Schritt 1.2.3.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x - y = - 6$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6 + 2 x^{2} + 4 x$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $2 x - y = - 6$ durch $- 6 + 2 x^{2} + 4 x$ .

$2 x - (- 6 + 2 x^{2} + 4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 x - (- 6 + 2 x^{2} + 4 x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 6 - (2 x^{2}) - (4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$2 x + 6 - (2 x^{2}) - (4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x + 6 - 2 x^{2} - (4 x) = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 x + 6 - 2 x^{2} - 4 x = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x + 6 - 2 x^{2} - 4 x = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$2 x + 6 - 2 x^{2} - 4 x = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3

Löse in $- 2 x + 6 - 2 x^{2} = - 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x + 6 - 2 x^{2} + 6 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.2

Addiere $6$ und $6$ .

$- 2 x - 2 x^{2} + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x - 2 x^{2} + 12$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Stelle $- 2 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$- 2 x^{2} - 2 x + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 x + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 x + 12 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $12$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot - 6 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} + x) - 2 \cdot - 6 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.1.6

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} + x) - 2 (- 6)$ heraus.

$- 2 (x^{2} + x - 6) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 (x^{2} + x - 6) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$x = 2$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$x = - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

$x = 2, - 3$

$y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$ durch $2$ .

$y = - 6 + 2 {(2)}^{2} + 4 (2)$

$x = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 6 + 2 {(2)}^{2} + 4 (2)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$y = - 6 + 2 {(2)}^{2} + 4 (2)$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - 6 + 2^{1 + 2} + 4 (2)$

$x = 2$

$y = - 6 + 2^{1 + 2} + 4 (2)$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - 6 + 2^{3} + 4 (2)$

$x = 2$

$y = - 6 + 2^{3} + 4 (2)$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = - 6 + 8 + 4 (2)$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = - 6 + 8 + 8$

$x = 2$

$y = - 6 + 8 + 8$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $- 6$ und $8$ .

$y = 2 + 8$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $2$ und $8$ .

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

$y = 10$

$x = 2$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 6 + 2 x^{2} + 4 x$ durch $- 3$ .

$y = - 6 + 2 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3)$

$x = - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 6 + 2 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 6 + 2 \cdot 9 + 4 (- 3)$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = - 6 + 18 + 4 (- 3)$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$y = - 6 + 18 - 12$

$x = - 3$

$y = - 6 + 18 - 12$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.1.2.1

Addiere $- 6$ und $18$ .

$y = 12 - 12$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.2.2

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 10)$

$(- 3, 0)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2, 10), (- 3, 0)$

Gleichungsform:

$x = 2, y = 10$

$x = - 3, y = 0$

Schritt 8