Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$0 - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$0 - \frac{1}{6}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{6}$ von $0$ .

$- \frac{1}{6}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 6) [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Schritt 7

Multipliziere $- (1 \cdot 6)$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 6 [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Schritt 8

Multipliziere $- 6$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - 6 \cdot 0 & - 6 (- \frac{1}{2}) \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 6 (- \frac{1}{2}) \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} 0 & - 6 (\frac{- 1}{2}) \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 (- 3) \frac{- 1}{2} \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2} \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.2.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 \cdot - 1 \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ - 6 (\frac{- 1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 3 (- 2) \frac{- 1}{3} & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.4.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ - 2 \cdot - 1 & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 2 & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Schritt 9.6

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 2 & \frac{- 6}{5} \end{array}]$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 2 & - \frac{6}{5} \end{array}]$