Finite Mathematik Beispiele

$9 x^{4} + 98 x^{2} - 11$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$9 u^{2} + 98 u - 11 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 11 = - 99$ und deren Summe gleich $b = 98$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $98$ aus $98 u$ heraus.

$9 u^{2} + 98 (u) - 11 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $98$ um als $- 1$ plus $99$

$9 u^{2} + (- 1 + 99) u - 11 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 u^{2} - 1 u + 99 u - 11 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 u^{2} - 1 u) + 99 u - 11 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (9 u - 1) + 11 (9 u - 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u + 11) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u + 11 = 0$

Schritt 4

Setze $9 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $9 u - 1$ gleich $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $9 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 u = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Schritt 5

Setze $u + 11$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u + 11$ gleich $0$ .

$u + 11 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 11$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 u - 1) (u + 11) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{9}, - 11$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 9.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 9.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 11$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 11}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 11}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (11)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$

Schritt 11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{11}$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{11}$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{11}$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Schritt 12

Die Lösung von $9 x^{4} + 98 x^{2} - 11 = 0$ ist $x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Schritt 13