Finite Mathematik Beispiele

$65 x^{6} + 60 x^{3} - 15 x$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$65 {(0)}^{6} + 60 {(0)}^{3} - 15 \cdot 0$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$65 \cdot 0 + 60 {(0)}^{3} - 15 \cdot 0$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $65$ mit $0$ .

$0 + 60 {(0)}^{3} - 15 \cdot 0$

Schritt 4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 60 \cdot 0 - 15 \cdot 0$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $60$ mit $0$ .

$0 + 0 - 15 \cdot 0$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 15$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

$0 + 0 + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

$0$

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{65 x^{6} + 60 x^{3} - 15 x}{x + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(65)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$

	$65$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(65)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$
	$65$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$
	$65$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$
	$65$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(60)$ .

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$	$60$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(60)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$	$60$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$

Schritt 6.13

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 15)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$

Schritt 6.14

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$65$	$0$	$0$	$60$	$0$	$- 15$	$0$

Schritt 6.15

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$65 x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + 60 x^{2} + (0) x - 15$

Schritt 6.16

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$65 x^{5} + 60 x^{2} - 15$

$65 x^{5} + 60 x^{2} - 15$

Schritt 7

Faktorisiere $5$ aus $65 x^{5} + 60 x^{2} - 15$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $5$ aus $65 x^{5}$ heraus.

$(x + 0) (5 (13 x^{5}) + 60 x^{2} - 15)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $5$ aus $60 x^{2}$ heraus.

$(x + 0) (5 (13 x^{5}) + 5 (12 x^{2}) - 15)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$(x + 0) (5 (13 x^{5}) + 5 (12 x^{2}) + 5 (- 3))$

Schritt 7.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (13 x^{5}) + 5 (12 x^{2})$ heraus.

$(x + 0) (5 (13 x^{5} + 12 x^{2}) + 5 (- 3))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (13 x^{5} + 12 x^{2}) + 5 (- 3)$ heraus.

$(x + 0) (5 (13 x^{5} + 12 x^{2} - 3))$

$(x + 0) (5 (13 x^{5} + 12 x^{2} - 3))$

Schritt 8

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.84246268, - 0.55336178, 0, 0.4735107$

Schritt 9

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$