Finite Mathematik Beispiele

$a^{3} - 25 a < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$a^{3} - 25 a = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{3} - 25 a$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{3}$ heraus.

$a \cdot a^{2} - 25 a = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- 25 a$ heraus.

$a \cdot a^{2} + a \cdot - 25 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot a^{2} + a \cdot - 25$ heraus.

$a (a^{2} - 25) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$a (a^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 5$ .

$a ((a + 5) (a - 5)) = 0$

Schritt 2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$a (a + 5) (a - 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a = 0$

$a + 5 = 0$

$a - 5 = 0$

Schritt 4

Setze $a$ gleich $0$ .

$a = 0$

Schritt 5

Setze $a + 5$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $a + 5$ gleich $0$ .

$a + 5 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 5$

Schritt 6

Setze $a - 5$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $a - 5$ gleich $0$ .

$a - 5 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 5$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $a (a + 5) (a - 5) = 0$ wahr machen.

$a = 0, - 5, 5$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$a < - 5$

$- 5 < a < 0$

$0 < a < 5$

$a > 5$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $a < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $a$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{3} - 25 \cdot - 8 < 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 312$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < a < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < a < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = - 2$

Schritt 9.2.2

Ersetze $a$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{3} - 25 \cdot - 2 < 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $42$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < a < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < a < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 2$

Schritt 9.3.2

Ersetze $a$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{3} - 25 \cdot 2 < 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 42$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $a > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 8$

Schritt 9.4.2

Ersetze $a$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{3} - 25 \cdot 8 < 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $312$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$a < - 5$ Wahr

$- 5 < a < 0$ Falsch

$0 < a < 5$ Wahr

$a > 5$ Falsch

$a < - 5$ Wahr

$- 5 < a < 0$ Falsch

$0 < a < 5$ Wahr

$a > 5$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$a < - 5$ oder $0 < a < 5$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Schritt 12