Finite Mathematik Beispiele

$3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$3 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $b = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Schritt 4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 2 (0)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$0 + 0 + 2 (0)$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $b + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b}{b + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

	$3$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$	$- 5$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 b^{2} + - 5 b + 2$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 b^{2} - 5 b + 2$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 b$ heraus.

$(b + 0) + 3 b^{2} - 5 b + 2$

Schritt 7.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 2$ plus $- 3$

$(b + 0) + 3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(b + 0) + 3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(b + 0) (3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(b + 0) + b (3 b - 2) - (3 b - 2)$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 b - 2$ .

$(b + 0) + (3 b - 2) (b - 1)$

$(b + 0) (3 b - 2) (b - 1)$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $b$ aus $3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $b$ aus $3 b^{3}$ heraus.

$b (3 b^{2}) - 5 b^{2} + 2 b = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $b$ aus $- 5 b^{2}$ heraus.

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + 2 b = 0$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $b$ aus $2 b$ heraus.

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $b$ aus $b (3 b^{2}) + b (- 5 b)$ heraus.

$b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $b$ aus $b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2$ heraus.

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 8.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 b$ heraus.

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Schritt 8.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 2$ plus $- 3$

$b (3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2) = 0$

Schritt 8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$b (3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2) = 0$

Schritt 8.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$b ((3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2) = 0$

Schritt 8.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$b (b (3 b - 2) - (3 b - 2)) = 0$

Schritt 8.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 b - 2$ .

$b ((3 b - 2) (b - 1)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$b (3 b - 2) (b - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$b = 0$

$3 b - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $b$ gleich $0$ .

$b = 0$

Schritt 11

Setze $3 b - 2$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $3 b - 2$ gleich $0$ .

$3 b - 2 = 0$

Schritt 11.2

Löse $3 b - 2 = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 b = 2$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 b = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 b = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{2}{3}$

Schritt 12

Setze $b - 1$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $b - 1$ gleich $0$ .

$b - 1 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = 1$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $b (3 b - 2) (b - 1) = 0$ wahr machen.

$b = 0, \frac{2}{3}, 1$

Schritt 14