Finite Mathematik Beispiele

$2 x^{10} - 6 x^{9} + 10 x^{9} - 126 x^{8}$

Schritt 1

Addiere $- 6 x^{9}$ und $10 x^{9}$ .

$y = 2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$

Schritt 2

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 3

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 4

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(0)}^{10} + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 \cdot 0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Schritt 5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - 126 {(0)}^{8}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 0 - 126 {(0)}^{8}$

Schritt 5.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 - 126 \cdot 0$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $- 126$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 6

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}}{x + 0}$

Schritt 7

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 7.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$2$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$

Schritt 7.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$	$4$

Schritt 7.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 126)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$

Schritt 7.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Schritt 7.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 126)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Schritt 7.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Schritt 7.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Schritt 7.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Schritt 7.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Schritt 7.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.13

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.14

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.15

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.16

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.17

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.18

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.19

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.20

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.21

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.22

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 7.23

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7} + 0 x^{6} + 0 x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x + 0$

Schritt 7.24

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

Schritt 8

Faktorisiere $2 x^{7}$ aus $2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2 x^{7}$ aus $2 x^{9}$ heraus.

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 4 x^{8} - 126 x^{7})$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2 x^{7}$ aus $4 x^{8}$ heraus.

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) - 126 x^{7})$

Schritt 8.3

Faktorisiere $2 x^{7}$ aus $- 126 x^{7}$ heraus.

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Schritt 8.4

Faktorisiere $2 x^{7}$ aus $2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x)$ heraus.

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Schritt 8.5

Faktorisiere $2 x^{7}$ aus $2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63)$ heraus.

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 63$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 63$ und deren Summe $2$ ist.

$- 7, 9$

Schritt 9.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

Schritt 10

Addiere $- 6 x^{9}$ und $10 x^{9}$ .

$2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2 x^{8}$ aus $2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$ heraus.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $2 x^{8}$ aus $2 x^{10}$ heraus.

$2 x^{8} (x^{2}) + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $2 x^{8}$ aus $4 x^{9}$ heraus.

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) - 126 x^{8} = 0$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $2 x^{8}$ aus $- 126 x^{8}$ heraus.

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Schritt 11.1.4

Faktorisiere $2 x^{8}$ aus $2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x)$ heraus.

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Schritt 11.1.5

Faktorisiere $2 x^{8}$ aus $2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63)$ heraus.

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 63$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 63$ und deren Summe $2$ ist.

$- 7, 9$

Schritt 11.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

Schritt 11.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{8} = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 13

Setze $x^{8}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x^{8}$ gleich $0$ .

$x^{8} = 0$

Schritt 13.2

Löse $x^{8} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[8]{0}$ .

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Schritt 13.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{8}$ um.

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Schritt 13.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 13.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 14

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 15

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 15.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 7, - 9$

Schritt 17