Finite Mathematik Beispiele

$x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 - 5 \cdot 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Schritt 4.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 36 (0)$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $- 36$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 36 (0)$

Schritt 4.1.10

Mutltipliziere $36$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x}{x + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$	$- 1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 36)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Schritt 6.13

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(36)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Schritt 6.14

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Schritt 6.15

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{5} + - 1 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + (- 36) x + 36$

Schritt 6.16

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} - 36 x + 36$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 5 x^{3} - 36 x$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 36 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ heraus.

$x (x^{4} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 5 u - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $u^{2} - 5 u - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 9, 4$

Schritt 7.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 9) (u + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.8

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.9

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 7.1.10

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 u + 36 = 0$

Schritt 7.1.11

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.11.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 7.1.11.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 (u) + 36 = 0$

Schritt 7.1.11.1.2

Schreibe $5$ um als $- 4$ plus $9$

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 4 + 9) u + 36 = 0$

Schritt 7.1.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Schritt 7.1.11.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.11.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Schritt 7.1.11.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 4) - 9 (- u - 4) = 0$

Schritt 7.1.11.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 4$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- u - 4) (u - 9) = 0$

Schritt 7.1.12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 7.1.13

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 7.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.14.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 7.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 7.1.15

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

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Schritt 7.1.15.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 7.1.15.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4) = 0$

Schritt 7.1.15.3

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4) - x^{2} - 4) = 0$

Schritt 7.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Schritt 7.1.17

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.17.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 7.1.17.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Schritt 7.1.17.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 3) (x - 3) (x^{1 + 2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Schritt 7.1.17.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Schritt 7.1.18

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + 4 x - x^{2} - 4) = 0$

Schritt 7.1.19

Stelle die Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} - x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Schritt 7.1.20

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.20.1

Schreibe $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.1.20.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.20.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{3} - x^{2}) + 4 x - 4) = 0$

Schritt 7.1.20.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} (x - 1) + 4 (x - 1)) = 0$

Schritt 7.1.20.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x^{2} + 4)) = 0$

Schritt 7.1.20.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7.6

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 7.6.2

Löse $x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 7.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 7.6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 7.6.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 7.6.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 7.6.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 7.6.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 7.6.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 7.6.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 7.6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 7.6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 7.6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 7.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 0) (x + 3) (x - 3) (x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$ .

$x = 0, - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Schritt 10