Finite Mathematik Beispiele

$42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{1}{14}, \pm \frac{1}{21}, \pm \frac{1}{42}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{7}, \pm \frac{2}{21}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{7}, \pm \frac{4}{21}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{7}, \pm \frac{8}{21}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}, \pm \frac{16}{7}, \pm \frac{16}{21}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$42 {(- 4)}^{4} + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$42 \cdot 256 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $42$ mit $256$ .

$10752 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Schritt 4.1.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$10752 + 335 \cdot - 64 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $335$ mit $- 64$ .

$10752 - 21440 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Schritt 4.1.5

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$10752 - 21440 + 663 \cdot 16 - 24 \cdot - 4 - 16$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $663$ mit $16$ .

$10752 - 21440 + 10608 - 24 \cdot - 4 - 16$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 4$ .

$10752 - 21440 + 10608 + 96 - 16$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $21440$ von $10752$ .

$- 10688 + 10608 + 96 - 16$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 10688$ und $10608$ .

$- 80 + 96 - 16$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 80$ und $96$ .

$16 - 16$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 4$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 4$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16}{x + 4}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(42)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

	$42$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(42)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 168)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(335)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$	$167$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(167)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 668)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(663)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$	$- 5$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(20)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 24)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$42 x^{3} + 167 x^{2} + (- 5) x - 4$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

Schritt 7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{238095}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0\overline{714285}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{095238}, \pm 2, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{571428}$

Schritt 7.1.1.3

Setze $- 0.\overline{142857}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{142857}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.1.3.1

Setze $- 0.\overline{142857}$ in das Polynom ein.

$42 {(- 0.\overline{142857})}^{3} + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Schritt 7.1.1.3.2

Potenziere $- 0.\overline{142857}$ mit $3$ .

$42 \cdot - 0.00291545 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Schritt 7.1.1.3.3

Mutltipliziere $42$ mit $- 0.00291545$ .

$- 0.12244897 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Schritt 7.1.1.3.4

Potenziere $- 0.\overline{142857}$ mit $2$ .

$- 0.12244897 + 167 \cdot 0.02040816 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Schritt 7.1.1.3.5

Mutltipliziere $167$ mit $0.02040816$ .

$- 0.12244897 + 3.40816326 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Schritt 7.1.1.3.6

Addiere $- 0.12244897$ und $3.40816326$ .

$3.28571428 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Schritt 7.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 0.\overline{142857}$ .

$3.28571428 + 0.\overline{714285} - 4$

Schritt 7.1.1.3.8

Addiere $3.28571428$ und $0.\overline{714285}$ .

$4 - 4$

Schritt 7.1.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 7.1.1.4

Da $- 0.\overline{142857}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $7 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4}{7 x + 1}$

Schritt 7.1.1.5

Dividiere $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ durch $7 x + 1$ .

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Schritt 7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$7 x$

$1$

$42 x^{3}$

$167 x^{2}$

$5 x$

$4$

Schritt 7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $42 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $7 x$ .

					$6 x^{2}$
	$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$

Schritt 7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			+	$42 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $42 x^{3} + 6 x^{2}$

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $161 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$161 x^{2}$	+	$23 x$

Schritt 7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $161 x^{2} + 23 x$

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$

Schritt 7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$

Schritt 7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Schritt 7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 28 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Schritt 7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							-	$28 x$	-	$4$

Schritt 7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 28 x - 4$

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$

Schritt 7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$
										$0$

Schritt 7.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$6 x^{2} + 23 x - 4$

Schritt 7.1.1.6

Schreibe $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 7.1.2.1.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 x$ heraus.

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 (x) - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.1.2

Schreibe $23$ um als $- 1$ plus $24$

$(7 x + 1) (6 x^{2} + (- 1 + 24) x - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(7 x + 1) (6 x^{2} - 1 x + 24 x - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(7 x + 1) ((6 x^{2} - 1 x) + 24 x - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(7 x + 1) (x (6 x - 1) + 4 (6 x - 1)) = 0$

Schritt 7.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x - 1$ .

$(7 x + 1) ((6 x - 1) (x + 4)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x + 1 = 0$

$6 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 7.3

Setze $7 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $7 x + 1$ gleich $0$ .

$7 x + 1 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $7 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 1$

Schritt 7.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 1$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 1$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Schritt 7.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 7.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Schritt 7.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{7}$

Schritt 7.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{7}$

Schritt 7.4

Setze $6 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $6 x - 1$ gleich $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $6 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 1$

Schritt 7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Schritt 7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Schritt 7.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Schritt 7.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, - 4$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 4) (x + \frac{1}{7}) (x - \frac{1}{6})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$ .

$x = - 4, - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}$

Schritt 10