Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$4 - 4 - 16 + 16$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0 - 16 + 16$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$- 16 + 16$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 16$ und $16$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 16)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 16$

Schritt 7

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 16$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ heraus.

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

Schritt 8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ heraus.

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Schritt 10.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ heraus.

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

Schritt 10.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ heraus.

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Schritt 10.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

Schritt 10.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Schritt 10.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 10.5

Faktorisiere.

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere.

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Schritt 10.5.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 10.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 10.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 13

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 14

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2, 2$

Schritt 16