Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Schritt 4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$0 + 0 + 48 (0)$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(48)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(48)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 2 x + 48$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ heraus.

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

Schritt 8

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

Schritt 8.3

Faktorisiere $2 x$ aus $48 x$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

Schritt 8.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ heraus.

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

Schritt 8.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ heraus.

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Schritt 10

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 11

Setze $2 x^{2} - x + 24$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x^{2} - x + 24$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x^{2} - x + 24 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 1$ und $c = 24$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Schritt 11.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.3

Subtrahiere $192$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.4

Schreibe $- 191$ als $- 1 (191)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (191)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Schritt 11.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.3

Subtrahiere $192$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.4

Schreibe $- 191$ als $- 1 (191)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (191)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Schritt 11.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Schritt 11.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.3

Subtrahiere $192$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.4

Schreibe $- 191$ als $- 1 (191)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (191)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Schritt 11.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Schritt 13