Finite Mathematik Beispiele

$10 x - 25 - x^{2} < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x - 25 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.1.1.1

Bewege $- 25$ .

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Stelle $10 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 10 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ heraus.

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere ${(x - 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 5$

$x > 5$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$10 (0) - 25 - {(0)}^{2} < 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 25$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$10 (8) - 25 - {(8)}^{2} < 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 9$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 5$ Wahr

$x > 5$ Wahr

$x < 5$ Wahr

$x > 5$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 5$ oder $x > 5$

Schritt 9

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 10