Finite Mathematik Beispiele

${(x + 7)}^{2} > 50 x - 27$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $50 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

${(x + 7)}^{2} - 50 x > - 27$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(x + 7)}^{2}$ als $(x + 7) (x + 7)$ um.

$(x + 7) (x + 7) - 50 x > - 27$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(x + 7) (x + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 7) + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 50 x > - 27$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $7 x$ und $7 x$ .

$x^{2} + 14 x + 49 - 50 x > - 27$

Schritt 1.3

Subtrahiere $50 x$ von $14 x$ .

$x^{2} - 36 x + 49 > - 27$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Addiere $27$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 36 x + 49 + 27 > 0$

Schritt 2.2

Addiere $49$ und $27$ .

$x^{2} - 36 x + 76 > 0$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 36 x + 76 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 36$ und $c = 76$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 76)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $304$ von $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $992$ als $4^{2} \cdot 62$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $992$ heraus.

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $304$ von $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $992$ als $4^{2} \cdot 62$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $992$ heraus.

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 18 + 2 \sqrt{62}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $304$ von $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $992$ als $4^{2} \cdot 62$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $992$ heraus.

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 18 - 2 \sqrt{62}$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 18 + 2 \sqrt{62}, 18 - 2 \sqrt{62}$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${((0) + 7)}^{2} > 50 (0) - 27$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $49$ ist größer als die rechte Seite $- 27$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${((5) + 7)}^{2} > 50 (5) - 27$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $144$ ist nicht größer als die rechte Seite $223$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 36$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $36$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${((36) + 7)}^{2} > 50 (36) - 27$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $1849$ ist größer als die rechte Seite $1773$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Wahr

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Falsch

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Wahr

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Wahr

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Falsch

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ oder $x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 18 - 2 \sqrt{62}) \cup (18 + 2 \sqrt{62}, \infty)$

Schritt 14