Finite Mathematik Beispiele

$- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} > 6$

Schritt 1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} - 6 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} - 6$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$- \frac{4 (2 (x) - 2)}{3 x} - 6 > 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{4 (2 (x) + 2 (- 1))}{3 x} - 6 > 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$- \frac{4 (2 (x - 1))}{3 x} - 6 > 0$

$- \frac{4 \cdot 2 (x - 1)}{3 x} - 6 > 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} - 6 > 0$

Schritt 2.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} - 6 \cdot \frac{3 x}{3 x} > 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} + \frac{- 6 (3 x)}{3 x} > 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 (x - 1) - 6 (3 x)}{3 x} > 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 (x - 1) - 6 \cdot 3 x$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 (x - 1)$ heraus.

$\frac{2 (- 4 (x - 1)) - 6 \cdot 3 x}{3 x} > 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \cdot 3 x$ heraus.

$\frac{2 (- 4 (x - 1)) + 2 (- 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4 (x - 1)) + 2 (- 3 \cdot 3 x)$ heraus.

$\frac{2 (- 4 (x - 1) - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 4 x - 4 \cdot - 1 - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (- 4 x + 4 - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 4 x + 4 - 9 x)}{3 x} > 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $9 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 13 x + 4)}{3 x} > 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 13 x$ heraus.

$\frac{2 (- (13 x) + 4)}{3 x} > 0$

Schritt 2.7

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{2 (- (13 x) - 1 (- 4))}{3 x} > 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (13 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{2 (- (13 x - 4))}{3 x} > 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (13 x - 4)$ als $- 1 (13 x - 4)$ um.

$\frac{2 (- 1 (13 x - 4))}{3 x} > 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (13 x - 4)}{3 x} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x = 0$

$13 x - 4 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$13 x = 4$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $13 x = 4$ durch $13$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $13 x = 4$ durch $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{4}{13}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13 x}{13} = \frac{4}{13}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{13}$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = \frac{4}{13}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, \frac{4}{13}$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 (13 x - 4)}{3 x}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{2 (13 x - 4)}{3 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x = 0$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{4}{13}$

$x > \frac{4}{13}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{4 (2 (- 2) - 2)}{3 (- 2)} > 6$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 4$ ist nicht größer als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{4}{13}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{4}{13}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.15$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0.15$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{4 (2 (0.15) - 2)}{3 (0.15)} > 6$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $15.\overline{1}$ ist größer als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{4}{13}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{4}{13}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{4 (2 (3) - 2)}{3 (3)} > 6$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 1.\overline{7}$ ist nicht größer als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{4}{13}$ Wahr

$x > \frac{4}{13}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{4}{13}$ Wahr

$x > \frac{4}{13}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \frac{4}{13}$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(0, \frac{4}{13})$

Schritt 14