Finite Mathematik Beispiele

$x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 18$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$3 x^{3} - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3} - 9 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$3 x (x^{2}) - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 9 x$ heraus.

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ heraus.

$3 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$3 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $u^{2} + 3 u - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $3$ ist.

$- 3, 6$

Schritt 1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ heraus.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $3 x (x^{2} - 3)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (3 x + x^{2} + 6) = 0$

Schritt 1.8

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 3 x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 3 x + 6$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 3 x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $24$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.3

Subtrahiere $24$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{15}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{15})}{2}$

Schritt 4.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- i \sqrt{15})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{15})}{2}$

Schritt 4.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{15}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{15})}{2}$

Schritt 4.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (i \sqrt{15})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{15})}{2}$

Schritt 4.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 6