Finite Mathematik Beispiele

$t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $t = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 + 2 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Schritt 4.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 2 + 2 \cdot 1 - 10 \cdot - 1 - 15$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + 2 + 2 - 10 \cdot - 1 - 15$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$1 + 2 + 2 + 10 - 15$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$3 + 2 + 10 - 15$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$5 + 10 - 15$

Schritt 4.2.3

Addiere $5$ und $10$ .

$15 - 15$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $t + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15}{t + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$5$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 10)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 15)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 t^{3} + - 3 t^{2} + (5) t - 15$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$t^{3} - 3 t^{2} + 5 t - 15$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(t + 1) (t^{3} - 3 t^{2}) + 5 t - 15$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(t + 1) + t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

$(t + 1) t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $t - 3$ .

$(t + 1) (t - 3) (t^{2} + 5)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Gruppiere die Terme um.

$- 2 t^{3} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 2 t$ aus $- 2 t^{3} - 10 t$ heraus.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 2 t$ aus $- 2 t^{3}$ heraus.

$- 2 t \cdot t^{2} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 2 t$ aus $- 10 t$ heraus.

$- 2 t \cdot t^{2} - 2 t \cdot 5 + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 2 t$ aus $- 2 t (t^{2}) - 2 t (5)$ heraus.

$- 2 t (t^{2} + 5) + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Schritt 9.3

Schreibe $t^{4}$ als ${(t^{2})}^{2}$ um.

$- 2 t (t^{2} + 5) + {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Schritt 9.4

Es sei $u = t^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + u^{2} + 2 u - 15 = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 9.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 t (t^{2} + 5) + (u - 3) (u + 5) = 0$

Schritt 9.6

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Schritt 9.7

Faktorisiere $t^{2} + 5$ aus $- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ heraus.

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Schritt 9.7.1

Faktorisiere $t^{2} + 5$ aus $- 2 t (t^{2} + 5)$ heraus.

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Schritt 9.7.2

Faktorisiere $t^{2} + 5$ aus $(t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ heraus.

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3) = 0$

Schritt 9.7.3

Faktorisiere $t^{2} + 5$ aus $(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3)$ heraus.

$(t^{2} + 5) (- 2 t + t^{2} - 3) = 0$

Schritt 9.8

Es sei $u = t$ . Ersetze $u$ für alle $t$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Schritt 9.9

Faktorisiere $- 2 u + u^{2} - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 9.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(t^{2} + 5) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Schritt 9.10

Faktorisiere.

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Schritt 9.10.1

Ersetze alle $u$ durch $t$ .

$(t^{2} + 5) ((t - 3) (t + 1)) = 0$

Schritt 9.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

$t - 3 = 0$

$t + 1 = 0$

Schritt 11

Setze $t^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $t^{2} + 5$ gleich $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

Schritt 11.2

Löse $t^{2} + 5 = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} = - 5$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 11.2.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 11.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 11.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = i \sqrt{5}$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - i \sqrt{5}$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 12

Setze $t - 3$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $t - 3$ gleich $0$ .

$t - 3 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 3$

Schritt 13

Setze $t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $t + 1$ gleich $0$ .

$t + 1 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 1$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$ wahr machen.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 3, - 1$

Schritt 15