Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{1}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Schritt 4.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Schritt 4.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Schritt 4.1.8

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Addiere $1$ und $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $16$ durch $4$ .

$- 4 + 4$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{1}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(16)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $16 x$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Schritt 7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Schritt 7.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Schritt 8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Schritt 9

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Schritt 10

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 11

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ und deren Summe gleich $b = 15$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 u$ heraus.

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Schritt 11.1.2

Schreibe $15$ um als $- 1$ plus $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Schritt 11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Schritt 11.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Schritt 11.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Schritt 11.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Schritt 13

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Schritt 13.2

Löse $4 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 1$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Schritt 14

Setze $u + 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Setze $u + 4$ gleich $0$ .

$u + 4 = 0$

Schritt 14.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 4$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Schritt 16

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 17

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 18

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 18.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 18.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 18.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 18.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 18.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 18.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 18.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 19

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 20

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 4$

Schritt 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 20.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 20.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 20.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 20.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 20.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 20.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 20.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 20.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 20.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 21

Die Lösung von $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ ist $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Schritt 22