Finite Mathematik Beispiele

$4 r^{2} + 20 r + 25$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $r = - \frac{5}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

Schritt 4.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

Schritt 4.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $10$ mit $- 5$ .

$25 - 50 + 25$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $50$ von $25$ .

$- 25 + 25$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 25$ und $25$ .

$0$

Schritt 5

Da $- \frac{5}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $r + \frac{5}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(10)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(25)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(4) r + 10$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 r + 10$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $4 r + 10$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 r$ heraus.

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 r) + 2 (5)$ heraus.

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

Schritt 8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 8.1

Schreibe $4 r^{2}$ als ${(2 r)}^{2}$ um.

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

Schritt 8.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

Schritt 8.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

Schritt 8.4

Schreibe das Polynom neu.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Schritt 8.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 r$ und $b = 5$ .

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

Schritt 9

Setze $2 r + 5$ gleich $0$ .

$2 r + 5 = 0$

Schritt 10

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 r = - 5$

Schritt 10.2

Teile jeden Ausdruck in $2 r = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 r = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 10.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{5}{2}$

Schritt 11