Finite Mathematik Beispiele

$2 x^{2} + 20 x + 48$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) + 48$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$2 \cdot 16 + 20 (- 4) + 48$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 + 20 (- 4) + 48$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 4$ .

$32 - 80 + 48$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $80$ von $32$ .

$- 48 + 48$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 48$ und $48$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 4$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 4$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 48}{x + 4}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 4$	$2$	$20$	$48$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 4$	$2$	$20$	$48$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$
	$2$	$12$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 48)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(48)$ .

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$	$- 48$
	$2$	$12$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$2$	$20$	$48$
		$- 8$	$- 48$
	$2$	$12$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(2) x + 12$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x + 12$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 12$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$(x + 4) (2 (x) + 12)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$(x + 4) (2 x + 2 \cdot 6)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 6$ heraus.

$(x + 4) (2 (x + 6))$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 20 x + 48$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 20 x + 48 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $20 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (10 x) + 48 = 0$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (10 x) + 2 \cdot 24 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (10 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 10 x) + 2 \cdot 24 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 10 x) + 2 \cdot 24$ heraus.

$2 (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 10 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $10$ ist.

$4, 6$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x + 4) (x + 6)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 4) (x + 6) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 10

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 11

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 4) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, - 6$

Schritt 13