Finite Mathematik Beispiele

$12 x^{2} + 12 x - 240$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 16, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm 48, \pm 60, \pm 80, \pm 120, \pm 240$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{12}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{4}, \pm \frac{5}{6}, \pm \frac{5}{12}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 12, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm \frac{40}{3}, \pm 48, \pm 60, \pm 80, \pm \frac{80}{3}, \pm 120, \pm 240$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$12 {(4)}^{2} + 12 (4) - 240$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$12 \cdot 16 + 12 (4) - 240$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$192 + 12 (4) - 240$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$192 + 48 - 240$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $192$ und $48$ .

$240 - 240$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $240$ von $240$ .

$0$

Schritt 5

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{12 x^{2} + 12 x - 240}{x - 4}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$	$12$	$12$	$- 240$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(12)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$	$12$	$12$	$- 240$

	$12$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(48)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(12)$ .

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$
	$12$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$
	$12$	$60$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(60)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(240)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 240)$ .

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$	$240$
	$12$	$60$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$	$240$
	$12$	$60$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(12) x + 60$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$12 x + 60$

Schritt 7

Faktorisiere $12$ aus $12 x + 60$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x$ heraus.

$(x - 4) (12 (x) + 60)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $12$ aus $60$ heraus.

$(x - 4) (12 x + 12 \cdot 5)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $12$ aus $12 x + 12 \cdot 5$ heraus.

$(x - 4) (12 (x + 5))$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} + 12 x - 240$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 x - 240 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $12$ aus $12 x$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 (x) - 240 = 0$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $12$ aus $- 240$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 x + 12 \cdot - 20 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2}) + 12 x$ heraus.

$12 (x^{2} + x) + 12 \cdot - 20 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2} + x) + 12 \cdot - 20$ heraus.

$12 (x^{2} + x - 20) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$12 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x - 4) (x + 5) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 10

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 11

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (x - 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 5$

Schritt 13