Finite Mathematik Beispiele

${(x + 2 y)}^{2}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x + 2 y)}^{2}$ gilt $n = 2$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $3$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 2 - 1$ .

$1 a^{2} b^{0} + 2 a b + 1 a^{0} b^{2}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $2 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{2} {(2 y)}^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{2}$ mit $1$ .

${(x)}^{2} {(2 y)}^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{2} (2^{0} y^{0}) + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2^{0} x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} \cdot 1 + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{2} + 2 x {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.9

Vereinfache.

$x^{2} + 2 x (2 y) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 2 \cdot 2 x y + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x y + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x y + {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.13

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} + 4 x y + 1 {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere ${(2 y)}^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x y + {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{2} + 4 x y + 2^{2} y^{2}$

Schritt 4.16

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$