Finite Mathematik Beispiele

$| 2 x - 4 | < | x - 1 |$

Schritt 1

Ersetze $<$ durch $=$ in $| 2 x - 4 | < | x - 1 |$ .

$| 2 x - 4 | = | x - 1 |$

Schritt 2

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

$- (2 x - 4) = x - 1$

$- (2 x - 4) = - (x - 1)$

Schritt 3

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Schritt 4

Löse $2 x - 4 = x - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 4 - x = - 1$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x - 4 = - 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1 + 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$x = 3$

Schritt 5

Löse $2 x - 4 = - (x - 1)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $- (x - 1)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$2 x - 4 = 0 + 0 - (x - 1)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 4 = - x - - 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x - 4 = - x + 1$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 4 + x = 1$

Schritt 5.2.2

Addiere $2 x$ und $x$ .

$3 x - 4 = 1$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1 + 4$

Schritt 5.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$3 x = 5$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = 3, \frac{5}{3}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{5}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{5}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| 2 (0) - 4 | < | (0) - 1 |$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $4$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{3} < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{3} < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| 2 (2) - 4 | < | (2) - 1 |$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| 2 (6) - 4 | < | (6) - 1 |$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $8$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{5}{3}$ Falsch

$\frac{5}{3} < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < \frac{5}{3}$ Falsch

$\frac{5}{3} < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{5}{3} < x < 3$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(\frac{5}{3}, 3)$

Schritt 11