Finite Mathematik Beispiele

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

Schritt 1

Schreibe $| x^{2} - 5 | < 4 x$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 5$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4

Schreibe $| x | \geq \sqrt{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \sqrt{5}$ und $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \sqrt{5}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq \sqrt{5}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ als $- \sqrt{5}$ um.

$x \leq - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \sqrt{5}$ oder $x \geq \sqrt{5}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x^{2} - 5$ nicht negativ ist.

$x^{2} - 5 < 4 x$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x^{2} - 5 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} < 5$

Schritt 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | < \sqrt{5}$

Schritt 1.5.4

Schreibe $| x | < \sqrt{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.5.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.5.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x < \sqrt{5}$

Schritt 1.5.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.5.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x < \sqrt{5}$

Schritt 1.5.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.5.5

Bestimme die Schnittmenge von $x < \sqrt{5}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

Schritt 1.5.6

Löse $- x < \sqrt{5}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x < \sqrt{5}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.6.1.1

Teile jeden Term in $- x < \sqrt{5}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.5.6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.6.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.5.6.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.5.6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.6.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

Schritt 1.5.6.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ als $- \sqrt{5}$ um.

$x > - \sqrt{5}$

Schritt 1.5.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - \sqrt{5}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

Schritt 1.5.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x^{2} - 5$ negativ ist.

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $x^{2} - 5 < 4 x$ , wenn $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $x^{2} - 5 < 4 x$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

Schritt 2.1.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{2} - 5 - 4 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.1.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.1.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.1.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 1$

Schritt 2.1.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 2.1.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.1.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.1.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 2.1.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

Schritt 2.1.9.1.3

Die linke Seite $11$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.1.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

Schritt 2.1.9.2.3

Die linke Seite $- 5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.1.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.1.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.1.9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

Schritt 2.1.9.3.3

Die linke Seite $59$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $32$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.1.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 2.1.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 5$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $- 1 < x < 5$ und $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

Schritt 3

Löse $- x^{2} + 5 < 4 x$ , wenn $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- x^{2} + 5 < 4 x$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

Schritt 3.1.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 5 - 4 x$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bewege $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Schritt 3.1.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Schritt 3.1.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Schritt 3.1.3.1.4

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.1.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (4 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.1.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 3.1.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Schritt 3.1.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 3.1.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3.1.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.1.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.1.6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.1.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.1.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 5$

Schritt 3.1.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 3.1.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 3.1.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

Schritt 3.1.9.1.3

Die linke Seite $- 59$ ist kleiner als die rechte Seite $- 32$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.1.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.1.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

Schritt 3.1.9.2.3

Die linke Seite $5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.1.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.1.9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

Schritt 3.1.9.3.3

Die linke Seite $- 11$ ist kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.1.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 3.1.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > 1$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < - 5 or x > 1$ und $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$1 < x < 5$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(1, 5)$

Schritt 6