Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + 3 x + 8 > 3 - 3 x$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $3 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} + 3 x + 8 + 3 x > 3$

Schritt 1.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 8 > 3$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 6 x + 8 = 3$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x + 8 - 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x + 5) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 5$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$x > - 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{2} + 3 (- 8) + 8 > 3 - 3 \cdot - 8$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $48$ ist größer als die rechte Seite $27$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + 8 > 3 - 3 \cdot - 3$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $8$ ist nicht größer als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 3 (0) + 8 > 3 - 3 \cdot 0$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $8$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < - 1$ Falsch

$x > - 1$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < - 1$ Falsch

$x > - 1$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > - 1$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 14