Finite Mathematik Beispiele

$| \frac{6 y + 4}{2} | + 8 > 2$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{6 y + 4}{2} | + 8 > 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{6 y + 4}{2} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 y + 4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{2 (3 y) + 4}{2} \geq 0$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} \geq 0$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2} \geq 0$

Schritt 1.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} \geq 0$

Schritt 1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} \geq 0$

Schritt 1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y + 2}{1} \geq 0$

Schritt 1.2.1.4.4

Dividiere $3 y + 2$ durch $1$ .

$3 y + 2 \geq 0$

Schritt 1.2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 y \geq - 2$

Schritt 1.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y \geq - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y \geq - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} \geq \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} \geq \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y \geq \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y \geq - \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{6 y + 4}{2}$ nicht negativ ist.

$\frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{6 y + 4}{2} < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 y + 4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{2 (3 y) + 4}{2} < 0$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} < 0$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2} < 0$

Schritt 1.5.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} < 0$

Schritt 1.5.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} < 0$

Schritt 1.5.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y + 2}{1} < 0$

Schritt 1.5.1.4.4

Dividiere $3 y + 2$ durch $1$ .

$3 y + 2 < 0$

Schritt 1.5.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 y < - 2$

Schritt 1.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y < - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y < - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} < \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} < \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y < - \frac{2}{3}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{6 y + 4}{2}$ negativ ist.

$- \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$ .

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Schritt 1.8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 y + 4$ und $2$ .

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Schritt 1.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

${\begin{cases} \frac{2 (3 y) + 4}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${\begin{cases} \frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y) + 2 (2)$ heraus.

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

${\begin{cases} \frac{3 y + 2}{1} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.4.4

Dividiere $3 y + 2$ durch $1$ .

${\begin{cases} 3 y + 2 + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Addiere $2$ und $8$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 y + 4$ und $2$ .

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Schritt 1.9.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y) + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y) + 2 (2)$ heraus.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.9.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{3 y + 2}{1} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.1.4.4

Dividiere $3 y + 2$ durch $1$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - (3 y + 2) + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - (3 y) - 1 \cdot 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y - 1 \cdot 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y - 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $- 2$ und $8$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y + 6 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $3 y + 10 > 2$ , wenn $y \geq - \frac{2}{3}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $3 y + 10 > 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 y > 2 - 10$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $10$ von $2$ .

$3 y > - 8$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y > - 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y > - 8$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} > \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} > \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y > \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y > - \frac{8}{3}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $y > - \frac{8}{3}$ und $y \geq - \frac{2}{3}$ .

$y \geq - \frac{2}{3}$

Schritt 3

Löse $- 3 y + 6 > 2$ , wenn $y < - \frac{2}{3}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 3 y + 6 > 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 3 y > 2 - 6$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 3 y > - 4$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y > - 4$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- 3 y > - 4$ durch $- 3$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 3 y}{- 3} < \frac{- 4}{- 3}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} < \frac{- 4}{- 3}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{- 4}{- 3}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y < \frac{4}{3}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < \frac{4}{3}$ und $y < - \frac{2}{3}$ .

$y < - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6