Finite Mathematik Beispiele

$x^{3} + 4 x^{2} - 5 x > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 4 x^{2} - 5 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 4 x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (4 x) - 5 x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ heraus.

$x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 5$ heraus.

$x (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - 5$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{3} + 4 {(- 8)}^{2} - 5 \cdot - 8 > 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 216$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 > 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $18$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0.5)}^{3} + 4 {(0.5)}^{2} - 5 \cdot 0.5 > 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 1.375$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 > 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $108$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < 0$ oder $x > 1$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, 0) \cup (1, \infty)$

Schritt 12