Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3} > 0$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3}$ an.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache.

$(x + 2) {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{x - 3}}^{2}$ als $x - 3$ um.

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Schritt 2.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(x + 2) {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 2) {(x - 3)}^{1} > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.4.5

Vereinfache.

$(x + 2) (x - 3) > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Multipliziere $(x + 2) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 3) + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.6.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 > 0^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 > 0^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - x - 6 > 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 2$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 \geq 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 4.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 \geq 0$

Schritt 4.4

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 3$

Schritt 4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[3, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(- 4) + 2} \sqrt{(- 4) - 3} > 0$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $3.74165738$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(0) + 2} \sqrt{(0) - 3} > 0$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(6) + 2} \sqrt{(6) - 3} > 0$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $4.89897948$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 3$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Schritt 9