Finite Mathematik Beispiele

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 y, 3, 1, 1$

Schritt 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.7

Das kgV von $4, 3, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 2.8

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 2.9

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 2.10

Das kgV von $y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 2.11

Das kgV von $4 y, 3, 1, 1$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 y$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ mit $12 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ mit $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $12 y$ heraus.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.8.1

Bewege $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.8.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Schritt 4

Löse die Ungleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $24 y$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $24 y$ von $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Schritt 4.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = - 12$ , $b = - 28$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $784$ und $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $928$ als $4^{2} \cdot 58$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $928$ heraus.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Schritt 4.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.6.1.3

Addiere $784$ und $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $928$ als $4^{2} \cdot 58$ um.

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Schritt 4.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $928$ heraus.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Schritt 4.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Schritt 4.6.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Schritt 4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.7.1.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.7.1.3

Addiere $784$ und $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.7.1.4

Schreibe $928$ als $4^{2} \cdot 58$ um.

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Schritt 4.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $928$ heraus.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Schritt 4.7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Schritt 4.7.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Schritt 4.8

Fasse die Lösungen zusammen.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{4 y}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 y = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$y = 0$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 5$

Schritt 7.1.2

Ersetze $y$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 0.38\overline{3}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 1$

Schritt 7.2.2

Ersetze $y$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 0.58\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 0.05$

Schritt 7.3.2

Ersetze $y$ durch $0.05$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $4.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2.05$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 3$

Schritt 7.4.2

Ersetze $y$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $- 0.25$ ist kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falsch

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Wahr

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falsch

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Wahr

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falsch

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Wahr

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falsch

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ oder $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Schritt 9

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Schritt 10