Finite Mathematik Beispiele

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(25 x^{3} + 75 x^{2}) - 36 x - 108 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$25 x^{2} (x + 3) - 36 (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$(x + 3) (25 x^{2} - 36) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 36) = 0$

Schritt 2.4

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 6^{2}) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5 x$ und $b = 6$ .

$(x + 3) ((5 x + 6) (5 x - 6)) = 0$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$5 x + 6 = 0$

$5 x - 6 = 0$

Schritt 4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Setze $5 x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $5 x + 6$ gleich $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Schritt 5.2

Löse $5 x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 6$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 6$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{6}{5}$

Schritt 6

Setze $5 x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $5 x - 6$ gleich $0$ .

$5 x - 6 = 0$

Schritt 6.2

Löse $5 x - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 6$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 6$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - \frac{6}{5}, \frac{6}{5}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$

$x > \frac{6}{5}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$25 {(- 6)}^{3} + 75 {(- 6)}^{2} - 36 \cdot - 6 - 108 > 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 2592$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$25 {(- 2)}^{3} + 75 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2 - 108 > 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $64$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$25 {(0)}^{3} + 75 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 - 108 > 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 108$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{6}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{6}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$25 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2} - 36 \cdot 4 - 108 > 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $2548$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ Wahr

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ Falsch

$x > \frac{6}{5}$ Wahr

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ Wahr

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ Falsch

$x > \frac{6}{5}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ oder $x > \frac{6}{5}$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 3, - \frac{6}{5}) \cup (\frac{6}{5}, \infty)$

Schritt 12