Finite Mathematik Beispiele

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 < 20$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 - 20 < 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $20$ von $0.5$ .

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = - 5$ , $b = 22$ und $c = - 19.5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 19.5)}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $22$ mit $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $390$ von $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $22$ mit $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $390$ von $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $22$ mit $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $390$ von $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 5 {(0)}^{2} + 22 (0) + 0.5 < 20$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 5 {(2)}^{2} + 22 (2) + 0.5 < 20$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $24.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 5 {(6)}^{2} + 22 (6) + 0.5 < 20$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 47.5$ ist kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Wahr

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Falsch

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Wahr

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Wahr

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Falsch

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ oder $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}) \cup (\frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \infty)$

Schritt 13