Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$x (4 x^{2}) + 21 x^{2} + 5 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $21 x^{2}$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (21 x) + 5 x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 5 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2}) + x (21 x)$ heraus.

$x (4 x^{2} + 21 x) + x \cdot 5 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2} + 21 x) + x \cdot 5$ heraus.

$x (4 x^{2} + 21 x + 5) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ und deren Summe gleich $b = 21$ ist.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $21$ aus $21 x$ heraus.

$x (4 x^{2} + 21 (x) + 5) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $21$ um als $1$ plus $20$

$x (4 x^{2} + (1 + 20) x + 5) = 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (4 x^{2} + 1 x + 20 x + 5) = 0$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x (4 x^{2} + x + 20 x + 5) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((4 x^{2} + x) + 20 x + 5) = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$x ((4 x + 1) (x + 5)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (4 x + 1) (x + 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (4 x + 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{4}, - 5$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$

$- \frac{1}{4} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(- 8)}^{3} + 21 {(- 8)}^{2} + 5 (- 8) > 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 744$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < - \frac{1}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < - \frac{1}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(- 3)}^{3} + 21 {(- 3)}^{2} + 5 (- 3) > 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $66$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{4} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{4} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.12$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $- 0.12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(- 0.12)}^{3} + 21 {(- 0.12)}^{2} + 5 (- 0.12) > 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 0.304512$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(2)}^{3} + 21 {(2)}^{2} + 5 (2) > 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $126$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ Wahr

$- \frac{1}{4} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ Wahr

$- \frac{1}{4} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ oder $x > 0$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, - \frac{1}{4}) \cup (0, \infty)$

Schritt 12