Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{2 x + 169} - \sqrt{x + 1} = 12$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{x + 1}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x + 169} = 12 + \sqrt{x + 1}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 169}}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 169}$ als ${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 169)}^{1} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 169 = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ als $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ um.

$2 x + 169 = (12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 169 = 12 (12 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $144$ und $1$ .

$2 x + 169 = 145 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $12 \sqrt{x + 1}$ und $12 \sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 145 + 24 \sqrt{x + 1} + x$

Schritt 4

Löse nach $24 \sqrt{x + 1}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$ um.

$145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $24 \sqrt{x + 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $145$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169 - 145$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 \sqrt{x + 1} = 2 x + 169 - 145 - x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 169 - 145$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $145$ von $169$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 24$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(24 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$24^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $24$ mit $2$ .

$576 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$576 {(x + 1)}^{1} = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$576 (x + 1) = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$576 x + 576 \cdot 1 = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $576$ mit $1$ .

$576 x + 576 = {(x + 24)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(x + 24)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(x + 24)}^{2}$ als $(x + 24) (x + 24)$ um.

$576 x + 576 = (x + 24) (x + 24)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(x + 24) (x + 24)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$576 x + 576 = x (x + 24) + 24 (x + 24)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 (x + 24)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Bringe $24$ auf die linke Seite von $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 \cdot x + 24 x + 24 \cdot 24$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $24$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 x + 24 x + 576$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $24 x$ und $24 x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 48 x + 576$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 48 x + 576 = 576 x + 576$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $576 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 48 x + 576 - 576 x = 576$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $576 x$ von $48 x$ .

$x^{2} - 528 x + 576 = 576$

Schritt 7.3

Subtrahiere $576$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 528 x + 576 - 576 = 0$

Schritt 7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 528 x + 576 - 576$ .

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $576$ von $576$ .

$x^{2} - 528 x + 0 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $x^{2} - 528 x$ und $0$ .

$x^{2} - 528 x = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 528 x$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 528 x = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 528 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 528 = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 528$ heraus.

$x (x - 528) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 528 = 0$

Schritt 7.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.8

Setze $x - 528$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x - 528$ gleich $0$ .

$x - 528 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $528$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 528$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 528) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 528$