Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$

Schritt 1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{3 x - 8} + 5$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ als $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ um.

$2 x = (\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} (\sqrt{3 x - 8} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{3 x - 8}$ mit $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3 x - 8}$ mit $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} {\sqrt{3 x - 8}}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3 x - 8}}^{2}$ als $3 x - 8$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 8}$ als ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x = {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x = {(3 x - 8)}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$2 x = 3 x - 8 + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 25$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $- 8$ und $25$ .

$2 x = 3 x + 17 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8}$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $5 \sqrt{3 x - 8}$ und $5 \sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8}$

Schritt 4

Löse nach $10 \sqrt{3 x - 8}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$ um.

$3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $10 \sqrt{3 x - 8}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x - 17$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$10 \sqrt{3 x - 8} = - x - 17$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(10 \sqrt{3 x - 8})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 8}$ als ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$10^{2} {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$100 {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$100 {(3 x - 8)}^{1} = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$100 (3 x - 8) = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$100 (3 x) + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $100$ .

$300 x + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $100$ mit $- 8$ .

$300 x - 800 = {(- x - 17)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(- x - 17)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(- x - 17)}^{2}$ als $(- x - 17) (- x - 17)$ um.

$300 x - 800 = (- x - 17) (- x - 17)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(- x - 17) (- x - 17)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$300 x - 800 = - x (- x - 17) - 17 (- x - 17)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x - 17)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$300 x - 800 = 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$300 x - 800 = x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 1$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x - 17 \cdot - 17$

Schritt 6.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x + 289$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $17 x$ und $17 x$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 34 x + 289$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 34 x + 289 = 300 x - 800$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $300 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 34 x + 289 - 300 x = - 800$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $300 x$ von $34 x$ .

$x^{2} - 266 x + 289 = - 800$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Addiere $800$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 266 x + 289 + 800 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $289$ und $800$ .

$x^{2} - 266 x + 1089 = 0$

Schritt 7.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 266$ und $c = 1089$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{266 \pm \sqrt{{(- 266)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1089)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.1.1

Potenziere $- 266$ mit $2$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1089$ .

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Schritt 7.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1089$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4356}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.1.3

Subtrahiere $4356$ von $70756$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{66400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.1.4

Schreibe $66400$ als $20^{2} \cdot 166$ um.

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Schritt 7.6.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $66400$ heraus.

$x = \frac{266 \pm \sqrt{400 (166)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{266 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 166}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$

Schritt 7.6.3

Vereinfache $\frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$ .

$x = 133 \pm 10 \sqrt{166}$

Schritt 7.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 133 + 10 \sqrt{166}, 133 - 10 \sqrt{166}$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$