Finite Mathematik Beispiele

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (64) + \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (9) - \log_{b} (12)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\log_{b} (64)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (9) - \log_{b} (12)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{b} (9)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (12)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (12)$ mit $6$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (12)$ mit $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = 2 \log_{b} (64) \cdot 2 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \log_{b} (9) \cdot 3 - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\log_{b} (9)$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + 3 \cdot \log_{b} (9) - \log_{b} (12) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $6 \log_{b} (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = 4 \log_{b} (64) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $4 \log_{b} (64) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $4 \log_{b} (64)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64^{4}) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $64$ mit $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache $3 \log_{b} (9)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (9^{3}) - 6 \log_{b} (12)$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $9$ mit $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (729) - 6 \log_{b} (12)$

Schritt 4.1.1.5

Vereinfache $- 6 \log_{b} (12)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (729) - \log_{b} (12^{6})$

Schritt 4.1.1.6

Potenziere $12$ mit $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (729) - \log_{b} (2985984)$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216 \cdot 729) - \log_{b} (2985984)$

Schritt 4.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{16777216 \cdot 729}{2985984})$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16777216$ und $2985984$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4096$ aus $16777216 \cdot 729$ heraus.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 (4096 \cdot 729)}{2985984})$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $2985984$ heraus.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 (4096 \cdot 729)}{4096 (729)})$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 (4096 \cdot 729)}{4096 \cdot 729})$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 \cdot 729}{729})$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $729$ .

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Schritt 4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 \cdot 729}{729})$

Schritt 4.1.5.2

Dividiere $4096$ durch $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{6} = 4096$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{4096}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{4096}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $4096$ als $4^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{4^{6}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$