Finite Mathematik Beispiele

\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Kombiniere

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ und

\log_{b} (27)

$\log_{b} (27)$ .

\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache

\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe

\frac{2 \log_{b} (27)}{3}

$\frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ als

\frac{2}{3} \log_{b} (27)

$\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ um.

\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache

\frac{2}{3} \log_{b} (27)

$\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ , indem du

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe

27

$27$ als

3^{3}

$3^{3}$ um.

\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.6

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.7

Vereinfache

2 \log_{b} (2)

$2 \log_{b} (2)$ , indem du

2

$2$ in den Logarithmus ziehst.

\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.1.8

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an,

\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)$

Schritt 2.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von

9

$9$ und

3

$3$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

9 \cdot 4

$9 \cdot 4$ heraus.

\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3

$3$ heraus.

\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere

3 \cdot 4

$3 \cdot 4$ durch

1

$1$ .

\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere

3

$3$ mit

4

$4$ .

\log_{b} (x) = \log_{b} (12)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

\log_{b} (x) = \log_{b} (12)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

\log_{b} (x) = \log_{b} (12)

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

x = 12

$x = 12$