Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}}^{4} = x^{4}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}$ als ${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(12 x^{2} - 35)}^{1} = x^{4}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$12 x^{2} - 35 = x^{4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} - 35 - x^{4} = 0$

Schritt 3.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- u^{2} + 12 u - 35 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 12 u - 35$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- (u^{2}) + 12 u - 35 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $12 u$ heraus.

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 35 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $- 35$ als $- 1 (35)$ um.

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - (- 12 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 12 u) - 1 (35)$ heraus.

$- (u^{2} - 12 u + 35) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 12 u + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 7, - 5$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 7) (u - 5)) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 7) (u - 5) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 3.5

Setze $u - 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $u - 7$ gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 7$

Schritt 3.6

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 7) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 7, 5$

Schritt 3.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 7$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 3.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 7$

Schritt 3.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 3.10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 3.10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 3.10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 3.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 3.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 5$

Schritt 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 3.12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 3.12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 3.13

Die Lösung von $- x^{4} + 12 x^{2} - 35 = 0$ ist $x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$ nicht erfüllen.

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 2.64575131 \dots, 2.23606797 \dots$