Finite Mathematik Beispiele

$\log_{3} (x + 18) - \log_{3} (x - 8) = 3$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 18}{x - 8}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (\frac{x + 18}{x - 8}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{3} = \frac{x + 18}{x - 8}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 18 = 3^{3} (x - 8)$

Schritt 4

Vereinfache $3^{3} (x - 8)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x + 18 = 27 (x - 8)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 18 = 27 x + 27 \cdot - 8$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $27$ mit $- 8$ .

$x + 18 = 27 x - 216$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $27 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 18 - 27 x = - 216$

Schritt 5.2

Subtrahiere $27 x$ von $x$ .

$- 26 x + 18 = - 216$

Schritt 6

Faktorisiere $2$ aus $- 26 x + 18$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 26 x$ heraus.

$2 (- 13 x) + 18 = - 216$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$2 (- 13 x) + 2 (9) = - 216$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 13 x) + 2 (9)$ heraus.

$2 (- 13 x + 9) = - 216$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 13 x + 9) = - 216$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 13 x + 9) = - 216$ durch $2$ .

$\frac{2 (- 13 x + 9)}{2} = \frac{- 216}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 13 x + 9)}{2} = \frac{- 216}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $- 13 x + 9$ durch $1$ .

$- 13 x + 9 = \frac{- 216}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 216$ durch $2$ .

$- 13 x + 9 = - 108$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 13 x = - 108 - 9$

Schritt 8.2

Subtrahiere $9$ von $- 108$ .

$- 13 x = - 117$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 13 x = - 117$ durch $- 13$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 13 x = - 117$ durch $- 13$ .

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{- 117}{- 13}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 13$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{- 117}{- 13}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 117}{- 13}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $- 117$ durch $- 13$ .

$x = 9$